Номер 6, страница 312, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Геометрические подходы к исследованию решений уравнений и систем уравнений.

Геометрический подход к решению уравнений и их систем заключается в замене алгебраических операций геометрическими построениями и интерпретациями. Уравнения и неравенства рассматриваются как аналитические задания геометрических фигур (точек, линий, поверхностей, тел), а решение сводится к нахождению взаимного расположения этих фигур и определению координат их общих точек.

Основные принципы геометрического подхода

Ключевая идея состоит в переходе от языка алгебры к языку геометрии. Это осуществляется путем введения системы координат (чаще всего декартовой).

• Уравнение вида $f(x) = g(x)$ с одной переменной $x$ интерпретируется как задача о нахождении абсцисс точек пересечения графиков двух функций: $y = f(x)$ и $y = g(x)$. Количество решений уравнения равно количеству точек пересечения, а сами решения — их абсциссы.

• Уравнение вида $F(x, y) = 0$ с двумя переменными $x$ и $y$ задает на координатной плоскости некоторую линию (кривую). Например, $ax+by+c=0$ — прямая, а $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$ — окружность.

• Система уравнений с двумя переменными $\begin{cases} F_1(x, y) = 0 \\ F_2(x, y) = 0 \end{cases}$ геометрически означает нахождение координат общих точек двух линий, заданных этими уравнениями. Количество решений системы равно количеству точек пересечения.

• Аналогично, в трехмерном пространстве уравнение $F(x, y, z) = 0$ задает поверхность, а система уравнений — пересечение этих поверхностей.

Примеры применения

1. Решение уравнений с одной переменной

Чтобы определить количество корней уравнения $x^3 - x + 1 = 0$, можно представить его в виде $x^3 = x - 1$. Построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ (кубическая парабола) и $y = x - 1$ (прямая). Визуально можно определить, что графики пересекаются в одной точке, следовательно, уравнение имеет один действительный корень.

2. Решение систем уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений: $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$.

Каждое уравнение задает прямую на плоскости: $y = -2x + 5$ и $y = x - 1$. Решение системы — это точка пересечения этих прямых. Построив графики, мы найдем точку $(2, 1)$, которая и является решением.

В общем случае две прямые на плоскости могут:

• Пересекаться в одной точке (система имеет единственное решение).

• Быть параллельными и не совпадать (система не имеет решений).

• Совпадать (система имеет бесконечно много решений).

3. Исследование уравнений и систем с параметрами

Геометрический подход особенно эффективен при решении задач с параметрами. В таких задачах требуется найти, при каких значениях параметра уравнение или система удовлетворяет определенным условиям (например, имеет заданное число решений).

Задача: Найти все значения параметра $a$, при которых система уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y = |x| + a \end{cases}$ имеет ровно два решения.

Решение: Первое уравнение $x^2 + y^2 = 4$ задает окружность с центром в начале координат и радиусом $R=2$. Второе уравнение $y = |x| + a$ задает график, состоящий из двух лучей, исходящих из точки $(0, a)$ и образующих "уголок", ветви которого направлены вверх.

Параметр $a$ отвечает за вертикальный сдвиг этого "уголка". Нам нужно найти такие значения $a$, при которых "уголок" и окружность имеют ровно две общие точки.

1. Если вершина "уголка" $(0, a)$ находится на окружности, т.е. $a=2$, то "уголок" касается окружности в точке $(0, 2)$ и пересекает ее в двух других точках. Всего 3 решения. Это нам не подходит.

2. Если "уголок" проходит через самую нижнюю точку окружности $(0, -2)$, т.е. $a=-2$, то мы имеем две точки пересечения. Это одно из искомых значений.

3. Если прямые $y=x+a$ и $y=-x+a$ касаются окружности в боковых точках. Расстояние от центра окружности $(0,0)$ до прямой $x-y+a=0$ (или $x+y-a=0$) должно быть равно радиусу $R=2$.

   Используем формулу расстояния от точки до прямой: $d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

   $d = \frac{|1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 + a|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|a|}{\sqrt{2}}$.

   Приравниваем расстояние радиусу: $\frac{|a|}{\sqrt{2}} = 2 \implies |a| = 2\sqrt{2}$.

   При $a = 2\sqrt{2}$ "уголок" касается окружности в двух точках. Это еще два решения. При $a = -2\sqrt{2}$ "уголок" вообще не пересекает окружность.

Анализируя все случаи, получаем, что система имеет ровно два решения при $a = 2\sqrt{2}$ и при $a = -2$.

Ответ: $a \in \{-2, 2\sqrt{2}\}$.

4. Использование свойств геометрических фигур и векторов

Иногда алгебраическое выражение можно интерпретировать как расстояние между точками или как скалярное произведение векторов. Это позволяет заменить громоздкие вычисления простыми геометрическими рассуждениями.

Задача: Решить уравнение $\sqrt{x^2 + (y-1)^2} + \sqrt{(x-5)^2 + (y+4)^2} = \sqrt{50}$.

Решение: Введем на плоскости точки $P(x, y)$, $A(0, 1)$ и $B(5, -4)$. Тогда левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний $|PA| + |PB|$.

Найдем расстояние между точками A и B: $|AB| = \sqrt{(5-0)^2 + (-4-1)^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25+25} = \sqrt{50}$.

Уравнение принимает вид $|PA| + |PB| = |AB|$. Согласно неравенству треугольника, это равенство выполняется тогда и только тогда, когда точка $P$ лежит на отрезке, соединяющем точки $A$ и $B$.

Таким образом, множество решений — это все точки отрезка AB.

Ответ: Множество точек $(x,y)$, принадлежащих отрезку с концами в точках $(0,1)$ и $(5,-4)$.

В заключение, геометрические подходы являются мощным инструментом для исследования и решения уравнений. Они позволяют визуализировать задачу, оценить количество решений, найти их приближенно и, в ряде случаев, получить точное решение более простым и изящным способом, чем чисто аналитическими методами.