Номер 5, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 5, страница 5.

П.5. Вычислите:

a) $ \sin t + \cos t $, если $ \sin t \cdot \cos t = 0,22 $;

б) $ \sin t \cdot \cos t $, если $ \sin t + \cos t = 0,4 $.

а) Для нахождения значения выражения $ \sin t + \cos t $ воспользуемся формулой квадрата суммы и основным тригонометрическим тождеством.

Возведем искомое выражение в квадрат:

$ (\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + 2\sin t \cos t + \cos^2 t $

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $:

$ (\sin t + \cos t)^2 = (\sin^2 t + \cos^2 t) + 2\sin t \cos t = 1 + 2\sin t \cos t $

По условию задачи известно, что $ \sin t \cdot \cos t = 0,22 $. Подставим это значение в полученное уравнение:

$ (\sin t + \cos t)^2 = 1 + 2 \cdot 0,22 = 1 + 0,44 = 1,44 $

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти $ \sin t + \cos t $:

$ \sin t + \cos t = \pm\sqrt{1,44} = \pm1,2 $

Ответ: $ \pm1,2 $.

б) Для нахождения значения выражения $ \sin t \cdot \cos t $ также воспользуемся формулой квадрата суммы и основным тригонометрическим тождеством.

Возьмем известное из условия равенство $ \sin t + \cos t = 0,4 $ и возведем обе его части в квадрат:

$ (\sin t + \cos t)^2 = (0,4)^2 $

Раскроем скобки в левой части:

$ \sin^2 t + 2\sin t \cos t + \cos^2 t = 0,16 $

Сгруппируем слагаемые и применим тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $:

$ (\sin^2 t + \cos^2 t) + 2\sin t \cos t = 0,16 $

$ 1 + 2\sin t \cos t = 0,16 $

Теперь выразим искомое произведение $ \sin t \cos t $:

$ 2\sin t \cos t = 0,16 - 1 $

$ 2\sin t \cos t = -0,84 $

$ \sin t \cos t = \frac{-0,84}{2} = -0,42 $

Ответ: $ -0,42 $.