Номер 6, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 6, страница 5.

П.6. Упростите выражение:

а) $ \frac{\cos\left(\frac{3\pi}{2} - t\right)}{\cos(\pi + t)} \cdot \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - t\right); $

б) $ \frac{\cos(90^\circ + \alpha) \operatorname{tg}(270^\circ + \alpha)}{\cos(180^\circ - \alpha) \sin(90^\circ - \alpha)}; $

в) $ \frac{\sin(180^\circ + \alpha) \sin(270^\circ - \alpha)}{\cos(90^\circ + \alpha)} \cdot \operatorname{ctg}(270^\circ + \alpha); $

г) $ \frac{\sin(\pi + t) \cos\left(\frac{\pi}{2} - t\right)}{\cos\left(\frac{3\pi}{2} + t\right) \operatorname{tg}(\pi - t)}. $

а) Упростим выражение $\frac{\cos(\frac{3\pi}{2} - t)}{\cos(\pi + t)} \cdot \text{tg}(\frac{\pi}{2} - t)$, используя формулы приведения. Последовательно преобразуем каждый множитель:

• $\cos(\frac{3\pi}{2} - t) = -\sin(t)$ (угол в III четверти, косинус отрицательный, функция меняется на синус).
• $\cos(\pi + t) = -\cos(t)$ (угол в III четверти, косинус отрицательный, функция не меняется).
• $\text{tg}(\frac{\pi}{2} - t) = \text{ctg}(t)$ (угол в I четверти, тангенс положительный, функция меняется на котангенс).

Подставим полученные значения в исходное выражение: $\frac{-\sin(t)}{-\cos(t)} \cdot \text{ctg}(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \cdot \text{ctg}(t) = \text{tg}(t) \cdot \text{ctg}(t) = 1$. Ответ: $1$.

б) Упростим выражение $\frac{\cos(90^\circ + \alpha) \text{tg}(270^\circ + \alpha)}{\cos(180^\circ - \alpha) \sin(90^\circ - \alpha)}$, используя формулы приведения. Преобразуем тригонометрические функции:

• $\cos(90^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha)$ (II четверть, cos < 0, функция меняется).
• $\text{tg}(270^\circ + \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$ (IV четверть, tg < 0, функция меняется).
• $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$ (II четверть, cos < 0, функция не меняется).
• $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)$ (I четверть, sin > 0, функция меняется).

Подставим в исходное выражение: $\frac{(-\sin(\alpha)) \cdot (-\text{ctg}(\alpha))}{(-\cos(\alpha)) \cdot \cos(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha) \cdot \text{ctg}(\alpha)}{-\cos^2(\alpha)}$. Так как $\text{ctg}(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$, получаем: $\frac{\sin(\alpha) \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}}{-\cos^2(\alpha)} = \frac{\cos(\alpha)}{-\cos^2(\alpha)} = -\frac{1}{\cos(\alpha)}$. Ответ: $-\frac{1}{\cos(\alpha)}$.

в) Упростим выражение $\frac{\sin(180^\circ + \alpha) \sin(270^\circ - \alpha)}{\cos(90^\circ + \alpha)} \cdot \text{ctg}(270^\circ + \alpha)$, используя формулы приведения. Преобразуем функции:

• $\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha)$ (III четверть, sin < 0, функция не меняется).
• $\sin(270^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$ (III четверть, sin < 0, функция меняется).
• $\cos(90^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha)$ (II четверть, cos < 0, функция меняется).
• $\text{ctg}(270^\circ + \alpha) = -\text{tg}(\alpha)$ (IV четверть, ctg < 0, функция меняется).

Подставим в исходное выражение: $\frac{(-\sin(\alpha)) \cdot (-\cos(\alpha))}{-\sin(\alpha)} \cdot (-\text{tg}(\alpha)) = \frac{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{-\sin(\alpha)} \cdot (-\text{tg}(\alpha))$. После сокращения дроби имеем: $(-\cos(\alpha)) \cdot (-\text{tg}(\alpha)) = \cos(\alpha) \cdot \text{tg}(\alpha)$. Так как $\text{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, получаем: $\cos(\alpha) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \sin(\alpha)$. Ответ: $\sin(\alpha)$.

г) Упростим выражение $\frac{\sin(\pi + t) \cos(\frac{\pi}{2} - t)}{\cos(\frac{3\pi}{2} + t) \text{tg}(\pi - t)}$, используя формулы приведения. Преобразуем функции:

• $\sin(\pi + t) = -\sin(t)$ (III четверть, sin < 0, функция не меняется).
• $\cos(\frac{\pi}{2} - t) = \sin(t)$ (I четверть, cos > 0, функция меняется).
• $\cos(\frac{3\pi}{2} + t) = \sin(t)$ (IV четверть, cos > 0, функция меняется).
• $\text{tg}(\pi - t) = -\text{tg}(t)$ (II четверть, tg < 0, функция не меняется).

Подставим в исходное выражение: $\frac{(-\sin(t)) \cdot \sin(t)}{\sin(t) \cdot (-\text{tg}(t))} = \frac{-\sin^2(t)}{-\sin(t)\text{tg}(t)}$. После сокращения дроби имеем: $\frac{\sin(t)}{\text{tg}(t)}$. Так как $\text{tg}(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)}$, получаем: $\frac{\sin(t)}{\frac{\sin(t)}{\cos(t)}} = \sin(t) \cdot \frac{\cos(t)}{\sin(t)} = \cos(t)$. Ответ: $\cos(t)$.