Номер 2, страница 4, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 2, страница 4.

П.2. Запишите числа в порядке возрастания:

a) $\sin \frac{\pi}{3}$; $\sin \frac{7\pi}{5}$; $\sin \frac{2\pi}{5}$; $\sin \frac{6\pi}{7}$;

б) $\cos \frac{\pi}{4}$; $\cos \frac{5\pi}{7}$; $\cos \frac{9\pi}{5}$; $\cos \frac{3\pi}{8}$;

в) $\cos \frac{11\pi}{9}$; $\cos \frac{\pi}{8}$; $\cos \frac{2\pi}{5}$; $\cos \frac{16\pi}{9}$;

г) $\sin \frac{2\pi}{5}$; $\sin \frac{13\pi}{8}$; $\sin \frac{4\pi}{7}$; $\sin \frac{12\pi}{11}$.

а) Для того чтобы расположить числа $ \sin\frac{\pi}{3}, \sin\frac{7\pi}{5}, \sin\frac{2\pi}{5}, \sin\frac{6\pi}{7} $ в порядке возрастания, определим знаки и сравним их значения.
1. Определим, в какой четверти находится каждый угол:
• $ \frac{\pi}{3} $ — I четверть, $ \sin\frac{\pi}{3} > 0 $.
• $ \frac{7\pi}{5} = \pi + \frac{2\pi}{5} $ — III четверть, $ \sin\frac{7\pi}{5} < 0 $.
• $ \frac{2\pi}{5} $ — I четверть, $ \sin\frac{2\pi}{5} > 0 $.
• $ \frac{6\pi}{7} = \pi - \frac{\pi}{7} $ — II четверть, $ \sin\frac{6\pi}{7} > 0 $.
2. Очевидно, что наименьшее число — это отрицательное значение $ \sin\frac{7\pi}{5} $.
3. Сравним остальные (положительные) числа. Используя формулы приведения, получим:
$ \sin\frac{6\pi}{7} = \sin(\pi - \frac{\pi}{7}) = \sin\frac{\pi}{7} $.
Теперь нужно сравнить $ \sin\frac{\pi}{3}, \sin\frac{2\pi}{5}, \sin\frac{\pi}{7} $.
Все углы $ \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{5}, \frac{\pi}{7} $ находятся в первой четверти, где функция $ y = \sin x $ возрастает. Поэтому большему углу соответствует большее значение синуса.
Сравним углы: $ \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{3} < \frac{2\pi}{5} $ (поскольку $ \frac{1}{7} \approx 0.14 $, $ \frac{1}{3} \approx 0.33 $, $ \frac{2}{5} = 0.4 $).
Следовательно, $ \sin\frac{\pi}{7} < \sin\frac{\pi}{3} < \sin\frac{2\pi}{5} $.
Это означает, что $ \sin\frac{6\pi}{7} < \sin\frac{\pi}{3} < \sin\frac{2\pi}{5} $.
4. Объединяя результаты, получаем итоговый порядок возрастания.

Ответ: $ \sin\frac{7\pi}{5}, \sin\frac{6\pi}{7}, \sin\frac{\pi}{3}, \sin\frac{2\pi}{5} $.

б) Для того чтобы расположить числа $ \cos\frac{\pi}{4}, \cos\frac{5\pi}{7}, \cos\frac{9\pi}{5}, \cos\frac{3\pi}{8} $ в порядке возрастания, определим знаки и сравним их значения.
1. Определим, в какой четверти находится каждый угол:
• $ \frac{\pi}{4} $ — I четверть, $ \cos\frac{\pi}{4} > 0 $.
• $ \frac{5\pi}{7} = \pi - \frac{2\pi}{7} $ — II четверть, $ \cos\frac{5\pi}{7} < 0 $.
• $ \frac{9\pi}{5} = 2\pi - \frac{\pi}{5} $ — IV четверть, $ \cos\frac{9\pi}{5} > 0 $.
• $ \frac{3\pi}{8} $ — I четверть, $ \cos\frac{3\pi}{8} > 0 $.
2. Наименьшее число — это отрицательное значение $ \cos\frac{5\pi}{7} $.
3. Сравним остальные (положительные) числа. Используя формулы приведения, получим:
$ \cos\frac{9\pi}{5} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{5}) = \cos\frac{\pi}{5} $.
Теперь нужно сравнить $ \cos\frac{\pi}{4}, \cos\frac{\pi}{5}, \cos\frac{3\pi}{8} $.
Все углы $ \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{5}, \frac{3\pi}{8} $ находятся в первой четверти, где функция $ y = \cos x $ убывает. Поэтому большему углу соответствует меньшее значение косинуса.
Сравним углы: $ \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{8} $ (поскольку $ \frac{1}{5} = 0.2 $, $ \frac{1}{4} = 0.25 $, $ \frac{3}{8} = 0.375 $).
Следовательно, $ \cos\frac{\pi}{5} > \cos\frac{\pi}{4} > \cos\frac{3\pi}{8} $.
Это означает, что $ \cos\frac{9\pi}{5} > \cos\frac{\pi}{4} > \cos\frac{3\pi}{8} $.
4. В порядке возрастания положительные числа располагаются так: $ \cos\frac{3\pi}{8}, \cos\frac{\pi}{4}, \cos\frac{9\pi}{5} $. Объединяя результаты, получаем итоговый порядок.

Ответ: $ \cos\frac{5\pi}{7}, \cos\frac{3\pi}{8}, \cos\frac{\pi}{4}, \cos\frac{9\pi}{5} $.

в) Для того чтобы расположить числа $ \cos\frac{11\pi}{9}, \cos\frac{\pi}{8}, \cos\frac{2\pi}{5}, \cos\frac{16\pi}{9} $ в порядке возрастания, определим знаки и сравним их значения.
1. Определим, в какой четверти находится каждый угол:
• $ \frac{11\pi}{9} = \pi + \frac{2\pi}{9} $ — III четверть, $ \cos\frac{11\pi}{9} < 0 $.
• $ \frac{\pi}{8} $ — I четверть, $ \cos\frac{\pi}{8} > 0 $.
• $ \frac{2\pi}{5} $ — I четверть, $ \cos\frac{2\pi}{5} > 0 $.
• $ \frac{16\pi}{9} = 2\pi - \frac{2\pi}{9} $ — IV четверть, $ \cos\frac{16\pi}{9} > 0 $.
2. Наименьшее число — это отрицательное значение $ \cos\frac{11\pi}{9} $.
3. Сравним остальные (положительные) числа. Используя формулы приведения, получим:
$ \cos\frac{16\pi}{9} = \cos(2\pi - \frac{2\pi}{9}) = \cos\frac{2\pi}{9} $.
Теперь нужно сравнить $ \cos\frac{\pi}{8}, \cos\frac{2\pi}{5}, \cos\frac{2\pi}{9} $.
Все углы $ \frac{\pi}{8}, \frac{2\pi}{5}, \frac{2\pi}{9} $ находятся в первой четверти, где функция $ y = \cos x $ убывает.
Сравним углы: $ \frac{\pi}{8} < \frac{2\pi}{9} < \frac{2\pi}{5} $ (поскольку $ \frac{1}{8}=0.125 $, $ \frac{2}{9} \approx 0.222 $, $ \frac{2}{5}=0.4 $).
Следовательно, $ \cos\frac{\pi}{8} > \cos\frac{2\pi}{9} > \cos\frac{2\pi}{5} $.
Это означает, что $ \cos\frac{\pi}{8} > \cos\frac{16\pi}{9} > \cos\frac{2\pi}{5} $.
4. В порядке возрастания положительные числа располагаются так: $ \cos\frac{2\pi}{5}, \cos\frac{16\pi}{9}, \cos\frac{\pi}{8} $. Объединяя результаты, получаем итоговый порядок.

Ответ: $ \cos\frac{11\pi}{9}, \cos\frac{2\pi}{5}, \cos\frac{16\pi}{9}, \cos\frac{\pi}{8} $.

г) Для того чтобы расположить числа $ \sin\frac{2\pi}{5}, \sin\frac{13\pi}{8}, \sin\frac{4\pi}{7}, \sin\frac{12\pi}{11} $ в порядке возрастания, определим знаки и сравним их значения.
1. Определим, в какой четверти находится каждый угол:
• $ \frac{2\pi}{5} $ — I четверть, $ \sin\frac{2\pi}{5} > 0 $.
• $ \frac{13\pi}{8} = 2\pi - \frac{3\pi}{8} $ — IV четверть, $ \sin\frac{13\pi}{8} < 0 $.
• $ \frac{4\pi}{7} = \pi - \frac{3\pi}{7} $ — II четверть, $ \sin\frac{4\pi}{7} > 0 $.
• $ \frac{12\pi}{11} = \pi + \frac{\pi}{11} $ — III четверть, $ \sin\frac{12\pi}{11} < 0 $.
2. Сравним отрицательные значения. Используя формулы приведения:
$ \sin\frac{13\pi}{8} = \sin(2\pi - \frac{3\pi}{8}) = -\sin\frac{3\pi}{8} $.
$ \sin\frac{12\pi}{11} = \sin(\pi + \frac{\pi}{11}) = -\sin\frac{\pi}{11} $.
В первой четверти $ \frac{\pi}{11} < \frac{3\pi}{8} $, поэтому $ \sin\frac{\pi}{11} < \sin\frac{3\pi}{8} $.
Умножив на -1, получим $ -\sin\frac{\pi}{11} > -\sin\frac{3\pi}{8} $, то есть $ \sin\frac{12\pi}{11} > \sin\frac{13\pi}{8} $.
3. Сравним положительные значения. Используя формулы приведения:
$ \sin\frac{4\pi}{7} = \sin(\pi - \frac{3\pi}{7}) = \sin\frac{3\pi}{7} $.
Нужно сравнить $ \sin\frac{2\pi}{5} $ и $ \sin\frac{3\pi}{7} $.
В первой четверти $ \frac{2\pi}{5} < \frac{3\pi}{7} $ (поскольку $ \frac{2}{5} = \frac{14}{35} $, а $ \frac{3}{7} = \frac{15}{35} $).
Так как $ \sin x $ возрастает в I четверти, $ \sin\frac{2\pi}{5} < \sin\frac{3\pi}{7} $, то есть $ \sin\frac{2\pi}{5} < \sin\frac{4\pi}{7} $.
4. Объединяя все сравнения, получаем итоговый порядок.

Ответ: $ \sin\frac{13\pi}{8}, \sin\frac{12\pi}{11}, \sin\frac{2\pi}{5}, \sin\frac{4\pi}{7} $.