Номер 3, страница 4, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 3, страница 4.

П.3. Найдите значения $ \cos t, \operatorname{tg} t, \operatorname{ctg} t $, если:

a) $ \sin t = \frac{8}{17}, t \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right); $

б) $ \sin t = -\frac{7}{25}, t \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right); $

в) $ \sin t = \frac{9}{41}, t \in \left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right); $

г) $ \sin t = -\frac{35}{37}, t \in \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right). $

а)

Дано: $\sin t = \frac{8}{17}$ и $t \in (\frac{\pi}{2}; \pi)$.

Сначала найдем $\cos t$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.

$\cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - (\frac{8}{17})^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289 - 64}{289} = \frac{225}{289}$.

Поскольку $t$ принадлежит второй четверти (интервал $(\frac{\pi}{2}; \pi)$), косинус угла $t$ отрицателен ($\cos t < 0$).

Следовательно, $\cos t = -\sqrt{\frac{225}{289}} = -\frac{15}{17}$.

Теперь найдем тангенс и котангенс:

$\tan t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{8/17}{-15/17} = -\frac{8}{15}$.

$\cot t = \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{-15/17}{8/17} = -\frac{15}{8}$.

Ответ: $\cos t = -\frac{15}{17}$, $\tan t = -\frac{8}{15}$, $\cot t = -\frac{15}{8}$.

б)

Дано: $\sin t = -\frac{7}{25}$ и $t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Найдем $\cos t$ из тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.

$\cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - (-\frac{7}{25})^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625}$.

Интервал $t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ включает первую и четвертую четверти. Так как $\sin t < 0$, угол $t$ находится в четвертой четверти, где косинус положителен ($\cos t > 0$).

Следовательно, $\cos t = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$.

Теперь найдем тангенс и котангенс:

$\tan t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{-7/25}{24/25} = -\frac{7}{24}$.

$\cot t = \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{24/25}{-7/25} = -\frac{24}{7}$.

Ответ: $\cos t = \frac{24}{25}$, $\tan t = -\frac{7}{24}$, $\cot t = -\frac{24}{7}$.

в)

Дано: $\sin t = \frac{9}{41}$ и $t \in (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$.

Найдем $\cos t$ из тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.

$\cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - (\frac{9}{41})^2 = 1 - \frac{81}{1681} = \frac{1681 - 81}{1681} = \frac{1600}{1681}$.

Интервал $t \in (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$ включает вторую и третью четверти. Так как $\sin t > 0$, угол $t$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен ($\cos t < 0$).

Следовательно, $\cos t = -\sqrt{\frac{1600}{1681}} = -\frac{40}{41}$.

Теперь найдем тангенс и котангенс:

$\tan t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{9/41}{-40/41} = -\frac{9}{40}$.

$\cot t = \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{-40/41}{9/41} = -\frac{40}{9}$.

Ответ: $\cos t = -\frac{40}{41}$, $\tan t = -\frac{9}{40}$, $\cot t = -\frac{40}{9}$.

г)

Дано: $\sin t = -\frac{35}{37}$ и $t \in (\pi; \frac{3\pi}{2})$.

Найдем $\cos t$ из тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.

$\cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - (-\frac{35}{37})^2 = 1 - \frac{1225}{1369} = \frac{1369 - 1225}{1369} = \frac{144}{1369}$.

Угол $t$ принадлежит третьей четверти (интервал $(\pi; \frac{3\pi}{2})$), где косинус отрицателен ($\cos t < 0$).

Следовательно, $\cos t = -\sqrt{\frac{144}{1369}} = -\frac{12}{37}$.

Теперь найдем тангенс и котангенс:

$\tan t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{-35/37}{-12/37} = \frac{35}{12}$.

$\cot t = \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{-12/37}{-35/37} = \frac{12}{35}$.

Ответ: $\cos t = -\frac{12}{37}$, $\tan t = \frac{35}{12}$, $\cot t = \frac{12}{35}$.