Номер 4, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 4, страница 5.

П.4. Найдите значения sin t, cos t, ctg t, если:

a) $ \text{tg } t = -\frac{5}{12}, t \in \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right) $

б) $ \text{tg } t = -\frac{12}{35}, t \in \left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right) $

в) $ \text{tg } t = \frac{9}{40}, t \in \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right) $

г) $ \text{tg } t = -\frac{24}{7}, t \in (0; \pi) $

а)

Дано: $tg \ t = -\frac{5}{12}$ и $t \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi)$.
Этот интервал соответствует IV координатной четверти. В этой четверти $sin \ t < 0$, а $cos \ t > 0$.

1. Найдём $ctg \ t$.
$ctg \ t = \frac{1}{tg \ t} = \frac{1}{-5/12} = -\frac{12}{5}$.

2. Найдём $cos \ t$, используя основное тригонометрическое тождество $1 + tg^2 t = \frac{1}{cos^2 t}$.
$\frac{1}{cos^2 t} = 1 + (-\frac{5}{12})^2 = 1 + \frac{25}{144} = \frac{144}{144} + \frac{25}{144} = \frac{169}{144}$.
$cos^2 t = \frac{144}{169}$.
$cos \ t = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$.
Так как $t$ находится в IV четверти, $cos \ t > 0$, следовательно, $cos \ t = \frac{12}{13}$.

3. Найдём $sin \ t$, используя формулу $tg \ t = \frac{sin \ t}{cos \ t}$, откуда $sin \ t = tg \ t \cdot cos \ t$.
$sin \ t = (-\frac{5}{12}) \cdot \frac{12}{13} = -\frac{5}{13}$.
Знак синуса отрицательный, что соответствует IV четверти.

Ответ: $sin \ t = -\frac{5}{13}$, $cos \ t = \frac{12}{13}$, $ctg \ t = -\frac{12}{5}$.

б)

Дано: $tg \ t = -\frac{12}{35}$ и $t \in (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$.
Этот интервал включает II и III координатные четверти. Так как $tg \ t$ отрицателен, угол $t$ находится во II четверти, то есть $t \in (\frac{\pi}{2}; \pi)$. В этой четверти $sin \ t > 0$, а $cos \ t < 0$.

1. Найдём $ctg \ t$.
$ctg \ t = \frac{1}{tg \ t} = \frac{1}{-12/35} = -\frac{35}{12}$.

2. Найдём $cos \ t$ из тождества $1 + tg^2 t = \frac{1}{cos^2 t}$.
$\frac{1}{cos^2 t} = 1 + (-\frac{12}{35})^2 = 1 + \frac{144}{1225} = \frac{1225}{1225} + \frac{144}{1225} = \frac{1369}{1225}$.
$cos^2 t = \frac{1225}{1369}$.
$cos \ t = \pm\sqrt{\frac{1225}{1369}} = \pm\frac{35}{37}$.
Так как $t$ находится во II четверти, $cos \ t < 0$, следовательно, $cos \ t = -\frac{35}{37}$.

3. Найдём $sin \ t$ по формуле $sin \ t = tg \ t \cdot cos \ t$.
$sin \ t = (-\frac{12}{35}) \cdot (-\frac{35}{37}) = \frac{12}{37}$.
Знак синуса положительный, что соответствует II четверти.

Ответ: $sin \ t = \frac{12}{37}$, $cos \ t = -\frac{35}{37}$, $ctg \ t = -\frac{35}{12}$.

в)

Дано: $tg \ t = \frac{9}{40}$ и $t \in (\pi; \frac{3\pi}{2})$.
Этот интервал соответствует III координатной четверти. В этой четверти $sin \ t < 0$ и $cos \ t < 0$.

1. Найдём $ctg \ t$.
$ctg \ t = \frac{1}{tg \ t} = \frac{1}{9/40} = \frac{40}{9}$.

2. Найдём $cos \ t$ из тождества $1 + tg^2 t = \frac{1}{cos^2 t}$.
$\frac{1}{cos^2 t} = 1 + (\frac{9}{40})^2 = 1 + \frac{81}{1600} = \frac{1600}{1600} + \frac{81}{1600} = \frac{1681}{1600}$.
$cos^2 t = \frac{1600}{1681}$.
$cos \ t = \pm\sqrt{\frac{1600}{1681}} = \pm\frac{40}{41}$.
Так как $t$ находится в III четверти, $cos \ t < 0$, следовательно, $cos \ t = -\frac{40}{41}$.

3. Найдём $sin \ t$ по формуле $sin \ t = tg \ t \cdot cos \ t$.
$sin \ t = (\frac{9}{40}) \cdot (-\frac{40}{41}) = -\frac{9}{41}$.
Знак синуса отрицательный, что соответствует III четверти.

Ответ: $sin \ t = -\frac{9}{41}$, $cos \ t = -\frac{40}{41}$, $ctg \ t = \frac{40}{9}$.

г)

Дано: $tg \ t = -\frac{24}{7}$ и $t \in (0; \pi)$.
Этот интервал включает I и II координатные четверти. Так как $tg \ t$ отрицателен, угол $t$ находится во II четверти, то есть $t \in (\frac{\pi}{2}; \pi)$. В этой четверти $sin \ t > 0$, а $cos \ t < 0$.

1. Найдём $ctg \ t$.
$ctg \ t = \frac{1}{tg \ t} = \frac{1}{-24/7} = -\frac{7}{24}$.

2. Найдём $cos \ t$ из тождества $1 + tg^2 t = \frac{1}{cos^2 t}$.
$\frac{1}{cos^2 t} = 1 + (-\frac{24}{7})^2 = 1 + \frac{576}{49} = \frac{49}{49} + \frac{576}{49} = \frac{625}{49}$.
$cos^2 t = \frac{49}{625}$.
$cos \ t = \pm\sqrt{\frac{49}{625}} = \pm\frac{7}{25}$.
Так как $t$ находится во II четверти, $cos \ t < 0$, следовательно, $cos \ t = -\frac{7}{25}$.

3. Найдём $sin \ t$ по формуле $sin \ t = tg \ t \cdot cos \ t$.
$sin \ t = (-\frac{24}{7}) \cdot (-\frac{7}{25}) = \frac{24}{25}$.
Знак синуса положительный, что соответствует II четверти.

Ответ: $sin \ t = \frac{24}{25}$, $cos \ t = -\frac{7}{25}$, $ctg \ t = -\frac{7}{24}$.