Номер 10, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 10, страница 6.

П.10. Преобразуйте выражение

$\sin \frac{5\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} - \sin 3\alpha \cos \frac{\pi}{3} - \frac{1}{4}$

в произведение и найдите его значение при $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

1. Преобразование выражения в произведение

Данное выражение: $E = \sin\frac{5\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2} - \sin 3\alpha \cos\frac{\pi}{3} - \frac{1}{4}$.

Сначала преобразуем первое слагаемое, используя формулу произведения синуса на косинус $\sin x \cos y = \frac{1}{2}[\sin(x+y) + \sin(x-y)]$.

$\sin\frac{5\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}\left[\sin\left(\frac{5\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2}\right) + \sin\left(\frac{5\alpha}{2} - \frac{\alpha}{2}\right)\right] = \frac{1}{2}(\sin\frac{6\alpha}{2} + \sin\frac{4\alpha}{2}) = \frac{1}{2}(\sin 3\alpha + \sin 2\alpha)$.

Далее, вычислим значение $\cos\frac{\pi}{3}$.

$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$E = \frac{1}{2}(\sin 3\alpha + \sin 2\alpha) - \sin 3\alpha \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$.

Раскроем скобки и упростим выражение:

$E = \frac{1}{2}\sin 3\alpha + \frac{1}{2}\sin 2\alpha - \frac{1}{2}\sin 3\alpha - \frac{1}{4}$.

Слагаемые с $\sin 3\alpha$ взаимно уничтожаются:

$E = \frac{1}{2}\sin 2\alpha - \frac{1}{4}$.

Чтобы преобразовать это выражение в произведение, вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$E = \frac{1}{2}(\sin 2\alpha - \frac{1}{2})$.

Представим $\frac{1}{2}$ в виде синуса известного угла: $\frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}$.

$E = \frac{1}{2}\left(\sin 2\alpha - \sin\frac{\pi}{6}\right)$.

Применим формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$:

$E = \frac{1}{2} \cdot \left[2 \cos\left(\frac{2\alpha + \frac{\pi}{6}}{2}\right) \sin\left(\frac{2\alpha - \frac{\pi}{6}}{2}\right)\right] = \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{12}\right) \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{12}\right)$.

Ответ: Выражение в виде произведения: $\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{12}\right) \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{12}\right)$.

2. Нахождение значения выражения при $\alpha = \frac{\pi}{4}$

Подставим значение $\alpha = \frac{\pi}{4}$ в полученное в результате преобразования выражение:

$E = \cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}\right) \sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{12}\right)$.

Вычислим значения аргументов тригонометрических функций:

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$.

$\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} - \frac{\pi}{12} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$.

Теперь подставим вычисленные углы в выражение для $E$:

$E = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$.

Используя известные значения тригонометрических функций:

$E = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: Значение выражения при $\alpha = \frac{\pi}{4}$ равно $\frac{1}{4}$.