Номер 16, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 16, страница 7.

П.16. a) Найдите корни уравнения

$cos2x + (sinx + cosx)^2 tgx = tgx(tgx + 1),$

принадлежащие отрезку $[-\frac{7\pi}{4}; \frac{\pi}{4}].$

б) Найдите корни уравнения

$sin(\frac{\pi}{4} - 4x) cos(\frac{\pi}{4} - x) + sin^2 \frac{5x}{2} = 0,$

принадлежащие отрезку $[-\pi; \pi].$

а)

Решим уравнение $ \cos(2x) + (\sin x + \cos x)^2 \tg x = \tg x(\tg x + 1) $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования тангенса: $ \cos x \neq 0 $, то есть $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Упростим левую часть уравнения. Раскроем скобку:
$ (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x $.
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ и формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $, получаем:
$ (\sin x + \cos x)^2 = 1 + \sin(2x) $.

Подставим это выражение в исходное уравнение:
$ \cos(2x) + (1 + \sin(2x)) \tg x = \tg x(\tg x + 1) $
$ \cos(2x) + \tg x + \sin(2x) \tg x = \tg^2 x + \tg x $

Сократим $ \tg x $ в обеих частях уравнения:
$ \cos(2x) + \sin(2x) \tg x = \tg^2 x $

Заменим $ \tg x = \frac{\sin x}{\cos x} $ и $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $:
$ \cos(2x) + (2\sin x \cos x) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \tg^2 x $
$ \cos(2x) + 2\sin^2 x = \tg^2 x $

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x $:
$ (\cos^2 x - \sin^2 x) + 2\sin^2 x = \tg^2 x $
$ \cos^2 x + \sin^2 x = \tg^2 x $
$ 1 = \tg^2 x $

Отсюда получаем два случая:
1) $ \tg x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
2) $ \tg x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку $ [-\frac{7\pi}{4}; \frac{\pi}{4}] $.

Для серии корней $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n $:
$ -\frac{7\pi}{4} \le \frac{\pi}{4} + \pi n \le \frac{\pi}{4} $
$ -\frac{7}{4} \le \frac{1}{4} + n \le \frac{1}{4} $
$ -2 \le n \le 0 $.
Целые значения $ n $: $ -2, -1, 0 $.
При $ n = -2: x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4} $
При $ n = -1: x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4} $
При $ n = 0: x = \frac{\pi}{4} $

Для серии корней $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k $:
$ -\frac{7\pi}{4} \le -\frac{\pi}{4} + \pi k \le \frac{\pi}{4} $
$ -\frac{7}{4} \le -\frac{1}{4} + k \le \frac{1}{4} $
$ -\frac{6}{4} \le k \le \frac{2}{4} \implies -1.5 \le k \le 0.5 $.
Целые значения $ k $: $ -1, 0 $.
При $ k = -1: x = -\frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{5\pi}{4} $
При $ k = 0: x = -\frac{\pi}{4} $

Выписываем все найденные корни в порядке возрастания: $ -\frac{7\pi}{4}, -\frac{5\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} $.

Ответ: $ -\frac{7\pi}{4}, -\frac{5\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} $.

б)

Решим уравнение $ \sin(\frac{\pi}{4} - 4x) \cos(\frac{\pi}{4} - x) + \sin^2(\frac{5x}{2}) = 0 $.

Используем формулу приведения $ \cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $ для второго множителя:
$ \cos(\frac{\pi}{4} - x) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} - x)) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + x) = \sin(\frac{\pi}{4} + x) $.

Уравнение принимает вид:
$ \sin(\frac{\pi}{4} - 4x) \sin(\frac{\pi}{4} + x) + \sin^2(\frac{5x}{2}) = 0 $.

Применим формулу преобразования произведения синусов в сумму $ \sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B)) $.
Пусть $ A = \frac{\pi}{4} + x $ и $ B = \frac{\pi}{4} - 4x $.
$ A - B = (\frac{\pi}{4} + x) - (\frac{\pi}{4} - 4x) = 5x $
$ A + B = (\frac{\pi}{4} + x) + (\frac{\pi}{4} - 4x) = \frac{\pi}{2} - 3x $
Тогда $ \sin(\frac{\pi}{4} - 4x) \sin(\frac{\pi}{4} + x) = \frac{1}{2}(\cos(5x) - \cos(\frac{\pi}{2} - 3x)) = \frac{1}{2}(\cos(5x) - \sin(3x)) $.

Используем формулу понижения степени $ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $:
$ \sin^2(\frac{5x}{2}) = \frac{1 - \cos(2 \cdot \frac{5x}{2})}{2} = \frac{1 - \cos(5x)}{2} $.

Подставляем полученные выражения в уравнение:
$ \frac{1}{2}(\cos(5x) - \sin(3x)) + \frac{1 - \cos(5x)}{2} = 0 $
Умножим обе части на 2:
$ \cos(5x) - \sin(3x) + 1 - \cos(5x) = 0 $
$ 1 - \sin(3x) = 0 $
$ \sin(3x) = 1 $

Решение этого уравнения:
$ 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку $ [-\pi; \pi] $.
$ -\pi \le \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \le \pi $
$ -1 \le \frac{1}{6} + \frac{2k}{3} \le 1 $
$ -1 - \frac{1}{6} \le \frac{2k}{3} \le 1 - \frac{1}{6} $
$ -\frac{7}{6} \le \frac{2k}{3} \le \frac{5}{6} $
$ -\frac{7}{6} \cdot \frac{3}{2} \le k \le \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{2} $
$ -\frac{7}{4} \le k \le \frac{5}{4} \implies -1.75 \le k \le 1.25 $.

Целые значения $ k $: $ -1, 0, 1 $.
При $ k = -1: x = \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi - 4\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} $
При $ k = 0: x = \frac{\pi}{6} $
При $ k = 1: x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi + 4\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $

Ответ: $ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} $.