Номер 18, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 18, страница 7.

П.18. Постройте график функции и перечислите её свойства:

a) $y = 2\sin^2 x;$

б) $y = \frac{2\sin|x|}{\sin x} + x;$

в) $y = \frac{\cos x}{|\cos x|} \cdot x^2, x \in \left(-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right);$

г) $y = -\frac{1}{2}\cos^2 2x.$

а) $y = 2\sin^2 x$

Построение графика:
Для упрощения и построения графика используем формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$. Функция принимает вид: $y = 2 \cdot \frac{1 - \cos(2x)}{2} = 1 - \cos(2x)$.
График этой функции можно получить из графика $y = \cos x$ с помощью следующих преобразований:

1. Сжатие графика вдоль оси ОХ в 2 раза, что приводит к уменьшению периода до $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Получаем $y = \cos(2x)$.
2. Симметричное отражение относительно оси ОХ. Получаем $y = -\cos(2x)$.
3. Сдвиг всего графика вверх на 1 единицу. Получаем итоговый график $y = 1 - \cos(2x)$.

График представляет собой косинусоиду, колеблющуюся в диапазоне от 0 до 2 с периодом $\pi$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$ (все действительные числа).
• Область значений: $E(y) = [0; 2]$.
• Четность: функция четная, так как $y(-x) = 2\sin^2(-x) = 2(-\sin x)^2 = 2\sin^2 x = y(x)$. График симметричен относительно оси OY.
• Периодичность: функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = \pi$.
• Нули функции: $y=0$ при $1-\cos(2x)=0$, что эквивалентно $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства: $y \ge 0$ на всей области определения.
• Промежутки монотонности на периоде $[0, \pi]$: функция возрастает на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ и убывает на отрезке $[\frac{\pi}{2}; \pi]$.
• Точки экстремума: точки минимума при $x = \pi n$ ($y_{min} = 0$), точки максимума при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ ($y_{max} = 2$), где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции — это косинусоида $y = 1 - \cos(2x)$. Функция четная, периодическая с периодом $\pi$, область определения $D(y) = \mathbb{R}$, область значений $E(y) = [0; 2]$.

б) $y = \frac{2\sin|x|}{\sin x} + x$

Построение графика:
Область определения функции задается условием $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi n$ для $n \in \mathbb{Z}$. Раскроем модуль в зависимости от знака $x$:

• Если $x > 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \frac{2\sin x}{\sin x} + x = 2 + x$.
• Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = \frac{2\sin(-x)}{\sin x} + x = \frac{-2\sin x}{\sin x} + x = -2 + x$.

Таким образом, функция является кусочно-линейной: $y = \begin{cases} x + 2, & \text{если } x > 0, x \neq \pi n \\ x - 2, & \text{если } x < 0, x \neq \pi n \end{cases}$, $n \in \mathbb{N}$.
График состоит из двух лучей: $y=x+2$ для $x>0$ и $y=x-2$ для $x<0$. На этих лучах в точках $x = \pi n$ ($n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$) будут выколотые точки.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; -2) \cup (2; \infty)$.
• Нечетность: функция нечетная. Для $x>0$, $y(-x) = -2-x = -(2+x) = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Периодичность: функция не является периодической.
• Нули функции: отсутствуют (уравнения $x+2=0$ и $x-2=0$ дают корни $x=-2$ и $x=2$, которые не принадлежат соответствующим интервалам $(0, \infty)$ и $(-\infty, 0)$).
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x > 0$; $y < 0$ при $x < 0$.
• Промежутки монотонности: функция строго возрастает на каждом интервале своей области определения (например, на $(0, \pi)$, $(\pi, 2\pi)$ и т.д.).
• Экстремумы: отсутствуют.

Ответ: График функции состоит из двух параллельных лучей $y=x+2$ (при $x>0$) и $y=x-2$ (при $x<0$) с выколотыми точками $x=\pi n, n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$. Функция нечетная, непериодическая, область значений $(-\infty; -2) \cup (2; \infty)$.

в) $y = \frac{\cos x}{|\cos x|} \cdot x^2, x \in (-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$

Построение графика:
Область определения функции задается условием $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. С учетом заданного интервала, $x \in (-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}) \setminus \{-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\}$. Выражение $\frac{\cos x}{|\cos x|}$ равно 1, если $\cos x > 0$, и -1, если $\cos x < 0$.

• $\cos x > 0$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Здесь $y = 1 \cdot x^2 = x^2$.
• $\cos x < 0$ на интервалах $(-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2})$ и $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$. Здесь $y = -1 \cdot x^2 = -x^2$.

График состоит из трех частей: параболы $y=x^2$ на $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ и двух ветвей параболы $y=-x^2$ на $(-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2})$ и $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$. В точках $x=\pm\frac{\pi}{2}$ будут разрывы.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}) \cup (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$.
• Область значений: $E(y) = (-\frac{9\pi^2}{4}; -\frac{\pi^2}{4}) \cup [0; \frac{\pi^2}{4})$.
• Четность: функция четная, так как $y(-x) = \frac{\cos(-x)}{|\cos(-x)|} \cdot (-x)^2 = \frac{\cos x}{|\cos x|} \cdot x^2 = y(x)$. График симметричен относительно оси OY.
• Периодичность: функция не является периодической.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y>0$ на $(-\frac{\pi}{2}; 0) \cup (0; \frac{\pi}{2})$; $y<0$ на $(-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$.
• Промежутки монотонности: возрастает на $(-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2})$ и на $[0; \frac{\pi}{2})$; убывает на $(-\frac{\pi}{2}; 0]$ и на $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$.
• Экстремумы: точка локального минимума $x=0$, $y_{min}=0$.

Ответ: График состоит из фрагментов парабол $y=x^2$ и $y=-x^2$. Функция четная, непериодическая, имеет локальный минимум в точке $(0;0)$, область значений $E(y) = (-9\pi^2/4; -\pi^2/4) \cup [0; \pi^2/4)$.

г) $y = \frac{1}{2}\cos^2(2x)$

Построение графика:
Используем формулу понижения степени $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$: $y = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \cos(2 \cdot 2x)}{2} = \frac{1}{4}(1 + \cos(4x)) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos(4x)$.
График этой функции можно получить из графика $y = \cos x$ преобразованиями:

1. Сжатие вдоль оси ОХ в 4 раза. Период становится $T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$. Получаем $y = \cos(4x)$.
2. Сжатие вдоль оси OY в 4 раза. Амплитуда становится $1/4$. Получаем $y = \frac{1}{4}\cos(4x)$.
3. Сдвиг вверх на $1/4$. Получаем $y = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos(4x)$.

График — косинусоида, колеблющаяся в диапазоне от 0 до $1/2$ с периодом $\pi/2$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$.
• Область значений: $E(y) = [0; \frac{1}{2}]$.
• Четность: функция четная, т.к. $y(-x) = \frac{1}{2}\cos^2(2(-x)) = \frac{1}{2}\cos^2(2x) = y(x)$.
• Периодичность: функция периодическая, наименьший положительный период $T = \frac{\pi}{2}$.
• Нули функции: $y=0$ при $\cos(2x)=0$, т.е. $2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства: $y \ge 0$ на всей области определения.
• Промежутки монотонности на периоде $[0, \pi/2]$: убывает на $[0; \frac{\pi}{4}]$, возрастает на $[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}]$.
• Точки экстремума: точки минимума при $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$ ($y_{min} = 0$), точки максимума при $x = \frac{\pi n}{2}$ ($y_{max} = \frac{1}{2}$), $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции — это косинусоида $y = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos(4x)$. Функция четная, периодическая с периодом $\pi/2$, область определения $D(y) = \mathbb{R}$, область значений $E(y) = [0; 1/2]$.