Номер 20, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 20, страница 7.

П.20. Найдите значение производной функции $y = f(x)$ в точке $x_0$, если:

а) $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2} - \frac{1}{3}x^3, x_0 = -1;$

б) $f(x) = 4\cos2x - \operatorname{ctg}\frac{x}{2}, x_0 = \frac{\pi}{3};$

в) $f(x) = 2\sin\frac{x}{2} + \cos3x, x_0 = \frac{\pi}{2};$

г) $f(x) = \frac{3x^3 - 1}{x + 1} + \frac{1}{4}x^4, x_0 = -2.$

а) Чтобы найти значение производной функции $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2} - \frac{1}{3}x^3$ в точке $x_0 = -1$, сначала найдем ее производную $f'(x)$.
Применим правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ и правило дифференцирования степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$.
$f'(x) = \left(\frac{x^2 - 1}{x - 2}\right)' - \left(\frac{1}{3}x^3\right)' = \frac{(x^2 - 1)'(x - 2) - (x^2 - 1)(x - 2)'}{(x - 2)^2} - \frac{1}{3} \cdot 3x^2$
$f'(x) = \frac{2x(x - 2) - (x^2 - 1) \cdot 1}{(x - 2)^2} - x^2 = \frac{2x^2 - 4x - x^2 + 1}{(x - 2)^2} - x^2 = \frac{x^2 - 4x + 1}{(x - 2)^2} - x^2$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:
$f'(-1) = \frac{(-1)^2 - 4(-1) + 1}{(-1 - 2)^2} - (-1)^2 = \frac{1 + 4 + 1}{(-3)^2} - 1 = \frac{6}{9} - 1 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

б) Для функции $f(x) = 4\cos(2x) - \operatorname{ctg}(\frac{x}{2})$ найдем производную $f'(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции и производные тригонометрических функций: $(\cos u)' = -u'\sin u$ и $(\operatorname{ctg} u)' = -\frac{u'}{\sin^2 u}$.
$f'(x) = (4\cos(2x))' - (\operatorname{ctg}(\frac{x}{2}))' = 4(-\sin(2x)) \cdot (2x)' - \left(-\frac{1}{\sin^2(\frac{x}{2})}\right) \cdot (\frac{x}{2})'$
$f'(x) = -4\sin(2x) \cdot 2 + \frac{1}{\sin^2(\frac{x}{2})} \cdot \frac{1}{2} = -8\sin(2x) + \frac{1}{2\sin^2(\frac{x}{2})}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:
$f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -8\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{2\sin^2\left(\frac{\pi/3}{2}\right)} = -8\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{2\sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right)}$.
Зная, что $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:
$f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2 \cdot (\frac{1}{2})^2} = -4\sqrt{3} + \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{4}} = -4\sqrt{3} + \frac{1}{1/2} = 2 - 4\sqrt{3}$.
Ответ: $2 - 4\sqrt{3}$.

в) Для функции $f(x) = 2\sin(\frac{x}{2}) + \cos(3x)$ найдем производную $f'(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции: $(\sin u)' = u'\cos u$ и $(\cos u)' = -u'\sin u$.
$f'(x) = \left(2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right)' + (\cos(3x))' = 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \left(\frac{x}{2}\right)' + (-\sin(3x)) \cdot (3x)'$
$f'(x) = 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} - \sin(3x) \cdot 3 = \cos\left(\frac{x}{2}\right) - 3\sin(3x)$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:
$f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi/2}{2}\right) - 3\sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - 3\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)$.
Зная, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$, получаем:
$f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - 3(-1) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 3$.
Ответ: $3 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) Чтобы найти значение производной функции $f(x) = \frac{3x^3 - 1}{x + 1} + \frac{1}{4}x^4$ в точке $x_0 = -2$, сначала найдем ее производную $f'(x)$.
Применим правило дифференцирования частного и правило дифференцирования степенной функции.
$f'(x) = \left(\frac{3x^3 - 1}{x + 1}\right)' + \left(\frac{1}{4}x^4\right)' = \frac{(3x^3 - 1)'(x + 1) - (3x^3 - 1)(x + 1)'}{(x + 1)^2} + \frac{1}{4} \cdot 4x^3$
$f'(x) = \frac{9x^2(x + 1) - (3x^3 - 1) \cdot 1}{(x + 1)^2} + x^3 = \frac{9x^3 + 9x^2 - 3x^3 + 1}{(x + 1)^2} + x^3 = \frac{6x^3 + 9x^2 + 1}{(x + 1)^2} + x^3$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -2$:
$f'(-2) = \frac{6(-2)^3 + 9(-2)^2 + 1}{(-2 + 1)^2} + (-2)^3 = \frac{6(-8) + 9(4) + 1}{(-1)^2} - 8$
$f'(-2) = \frac{-48 + 36 + 1}{1} - 8 = -11 - 8 = -19$.
Ответ: $-19$.