Номер 14, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 14, страница 7.

П.14. а) $3\cos^2 x - 2\sin 2x + \sin^2 x = 0;$

б) $1 + 7\cos^2 x = 3\sin 2x;$

в) $5\sin^2 x + 5\sin x \cos x = 3;$

г) $\frac{1}{\cos x} + \sin x = 7\cos x.$

а) $3\cos^2 x - 2\sin 2x + \sin^2 x = 0$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой двойного угла для синуса: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.

Подставим эту формулу в исходное уравнение:

$3\cos^2 x - 2(2\sin x \cos x) + \sin^2 x = 0$

$\sin^2 x - 4\sin x \cos x + 3\cos^2 x = 0$

Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставив эти значения в уравнение, получим:

$1 - 4 \cdot \sin x \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 0 \implies 1 = 0$

Это неверное равенство, следовательно, $\cos x \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{4\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{3\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$\tan^2 x - 4\tan x + 3 = 0$

Сделаем замену переменной $t = \tan x$. Уравнение примет вид:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Теперь вернемся к исходной переменной:

1) $\tan x = 1 \implies x = \arctan(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = 3 \implies x = \arctan(3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $1 + 7\cos^2 x = 3\sin 2x$

Используем основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ и формулу двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.

$(\sin^2 x + \cos^2 x) + 7\cos^2 x = 3(2\sin x \cos x)$

Упростим выражение:

$\sin^2 x + 8\cos^2 x = 6\sin x \cos x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить однородное уравнение:

$\sin^2 x - 6\sin x \cos x + 8\cos^2 x = 0$

Убедимся, что $\cos x \neq 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставив в уравнение, получим $1=0$, что неверно. Следовательно, можно разделить обе части на $\cos^2 x$:

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{6\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{8\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$\tan^2 x - 6\tan x + 8 = 0$

Пусть $t = \tan x$. Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 6t + 8 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.

Возвращаемся к замене:

1) $\tan x = 2 \implies x = \arctan(2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = 4 \implies x = \arctan(4) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan(4) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $5\sin^2 x + 5\sin x \cos x = 3$

Чтобы свести уравнение к однородному, представим число 3 с помощью основного тригонометрического тождества: $3 = 3 \cdot 1 = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$.

$5\sin^2 x + 5\sin x \cos x = 3\sin^2 x + 3\cos^2 x$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$(5\sin^2 x - 3\sin^2 x) + 5\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0$

$2\sin^2 x + 5\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0$

Проверим случай $\cos x = 0$. Тогда $\sin^2 x = 1$, и уравнение принимает вид $2 \cdot 1 = 0$, что неверно. Значит, делим обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$2\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 5\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 3\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$2\tan^2 x + 5\tan x - 3 = 0$

Пусть $t = \tan x$:

$2t^2 + 5t - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Корни: $t_1 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$ и $t_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Возвращаемся к замене:

1) $\tan x = -3 \implies x = \arctan(-3) + \pi n = -\arctan(3) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = \frac{1}{2} \implies x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $\frac{1}{\cos x} + \sin x = 7\cos x$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Умножим обе части уравнения на $\cos x$, чтобы избавиться от знаменателя:

$1 + \sin x \cos x = 7\cos^2 x$

Используем тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$:

$(\sin^2 x + \cos^2 x) + \sin x \cos x = 7\cos^2 x$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить однородное уравнение:

$\sin^2 x + \sin x \cos x + \cos^2 x - 7\cos^2 x = 0$

$\sin^2 x + \sin x \cos x - 6\cos^2 x = 0$

Так как из ОДЗ мы знаем, что $\cos x \neq 0$, мы можем разделить обе части на $\cos^2 x$:

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{6\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$\tan^2 x + \tan x - 6 = 0$

Пусть $t = \tan x$:

$t^2 + t - 6 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -3$.

Возвращаемся к замене:

1) $\tan x = 2 \implies x = \arctan(2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = -3 \implies x = \arctan(-3) + \pi k = -\arctan(3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Оба набора решений удовлетворяют ОДЗ, так как для них $\cos x \neq 0$.

Ответ: $x = \arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.