Номер 19, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 19, страница 7.

П.19. Найдите производную функции:

а) $y = 2x^3 - 3\sqrt{x} + 2x;$

б) $y = 2\sin^3 x - 3\operatorname{tg}4x - 4;$

в) $y = 3\cos^2 x - \operatorname{ctg}\frac{x}{2} + 5;$

г) $y = \frac{1}{4}x^4 - 5x^2 + 2\sqrt{2x} + 5.$

а) Для нахождения производной функции $y = 2x^3 - 3\sqrt{x} + 2x$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы и основными формулами для производных. Производная суммы функций равна сумме производных этих функций.

$y' = (2x^3 - 3\sqrt{x} + 2x)' = (2x^3)' - (3\sqrt{x})' + (2x)'$

Найдем производную каждого слагаемого по отдельности, используя формулы $(x^n)' = nx^{n-1}$ и $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$:

1. $(2x^3)' = 2 \cdot (x^3)' = 2 \cdot 3x^{3-1} = 6x^2$

2. Представим $\sqrt{x}$ в виде $x^{1/2}$. Тогда $(3\sqrt{x})' = (3x^{1/2})' = 3 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{3}{2}x^{-1/2} = \frac{3}{2\sqrt{x}}$

3. $(2x)' = 2$

Теперь сложим полученные производные:

$y' = 6x^2 - \frac{3}{2\sqrt{x}} + 2$

Ответ: $y' = 6x^2 - \frac{3}{2\sqrt{x}} + 2$

б) Для нахождения производной функции $y = 2\sin^3 x - 3\tg(4x) - 4$ применим правило дифференцирования суммы/разности и правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

$y' = (2\sin^3 x)' - (3\tg(4x))' - (4)'$

1. Для $2\sin^3 x$, внешняя функция — степенная $u^3$, внутренняя — $u = \sin x$.
$(2\sin^3 x)' = 2 \cdot 3\sin^{3-1}x \cdot (\sin x)' = 6\sin^2 x \cdot \cos x$

2. Для $3\tg(4x)$, внешняя функция — $ \tg u $, внутренняя — $ u=4x $. Используем формулу $(\tg u)' = \frac{1}{\cos^2 u}$.
$(3\tg(4x))' = 3 \cdot (\tg(4x))' = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2(4x)} \cdot (4x)' = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2(4x)} \cdot 4 = \frac{12}{\cos^2(4x)}$

3. Производная константы равна нулю: $(4)'=0$.

Объединяем результаты:

$y' = 6\sin^2 x \cos x - \frac{12}{\cos^2(4x)}$

Ответ: $y' = 6\sin^2 x \cos x - \frac{12}{\cos^2(4x)}$

в) Для нахождения производной функции $y = 3\cos^2 x - \ctg\frac{x}{2} + 5$ также используем правило дифференцирования сложной функции.

$y' = (3\cos^2 x)' - (\ctg\frac{x}{2})' + (5)'$

1. Для $3\cos^2 x$, внешняя функция — $u^2$, внутренняя — $u=\cos x$.
$(3\cos^2 x)' = 3 \cdot 2\cos^{2-1}x \cdot (\cos x)' = 6\cos x \cdot (-\sin x) = -6\sin x \cos x$. Этот результат можно также записать как $-3\sin(2x)$.

2. Для $\ctg\frac{x}{2}$, внешняя функция — $\ctg u$, внутренняя — $u=\frac{x}{2}$. Используем формулу $(\ctg u)' = -\frac{1}{\sin^2 u}$.
$(\ctg\frac{x}{2})' = -\frac{1}{\sin^2(\frac{x}{2})} \cdot (\frac{x}{2})' = -\frac{1}{\sin^2(\frac{x}{2})} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2\sin^2(\frac{x}{2})}$

3. Производная константы равна нулю: $(5)'=0$.

Собираем все вместе:

$y' = -6\sin x \cos x - (-\frac{1}{2\sin^2(\frac{x}{2})}) = -6\sin x \cos x + \frac{1}{2\sin^2(\frac{x}{2})}$

Ответ: $y' = -6\sin x \cos x + \frac{1}{2\sin^2(\frac{x}{2})}$

г) Для нахождения производной функции $y = \frac{1}{4}x^4 - 5x^2 + 2\sqrt{2x} + 5$ применяем те же правила.

$y' = (\frac{1}{4}x^4)' - (5x^2)' + (2\sqrt{2x})' + (5)'$

1. $(\frac{1}{4}x^4)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^{4-1} = x^3$

2. $(5x^2)' = 5 \cdot 2x^{2-1} = 10x$

3. Для $2\sqrt{2x}$ используем правило производной сложной функции. Внешняя функция — $\sqrt{u}$, внутренняя — $u=2x$. Используем формулу $(\sqrt{u})'=\frac{1}{2\sqrt{u}}$.
$(2\sqrt{2x})' = 2 \cdot (\sqrt{2x})' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot (2x)' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot 2 = \frac{2}{\sqrt{2x}}$

4. Производная константы равна нулю: $(5)'=0$.

Объединяем результаты:

$y' = x^3 - 10x + \frac{2}{\sqrt{2x}}$

Ответ: $y' = x^3 - 10x + \frac{2}{\sqrt{2x}}$