Номер 12, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 12, страница 6.

Решите уравнение:

П.12. a) $2\sin x \cos x - 2\sin x - \cos x + 1 = 0;$

б) $2\sin x - \sqrt{3}\tan x - 2\sqrt{3}\cos x + 3 = 0;$

в) $2\cos x - \cot x - 2\sin x + 1 = 0;$

г) $2\sin x \cos x + \sqrt{2}\cos x - \sqrt{2}\sin x - 1 = 0.$

а) $2\sin x \cos x - 2\sin x - \cos x + 1 = 0$

Сгруппируем члены уравнения:
$(2\sin x \cos x - 2\sin x) - (\cos x - 1) = 0$
Вынесем общие множители за скобки:
$2\sin x (\cos x - 1) - 1(\cos x - 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(\cos x - 1)$:
$(\cos x - 1)(2\sin x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:
1) $\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = 1$
$x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $2\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$
$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = 2\pi k, \quad x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б) $2\sin x - \sqrt{3}\tg x - 2\sqrt{3}\cos x + 3 = 0$

ОДЗ: $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Заменим $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$ :
$2\sin x - \sqrt{3}\frac{\sin x}{\cos x} - 2\sqrt{3}\cos x + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 0$
Сгруппируем члены уравнения:
$(2\sin x - 2\sqrt{3}\cos x) - (\sqrt{3}\frac{\sin x}{\cos x} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 0$
$2(\sin x - \sqrt{3}\cos x) - \frac{\sqrt{3}}{\cos x}(\sin x - \sqrt{3}\cos x) = 0$
Вынесем общий множитель $(\sin x - \sqrt{3}\cos x)$:
$(\sin x - \sqrt{3}\cos x)(2 - \frac{\sqrt{3}}{\cos x}) = 0$
Получаем два уравнения:
1) $\sin x - \sqrt{3}\cos x = 0$ (разделим на $\cos x \neq 0$)
$\tg x = \sqrt{3}$
$x = \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. (удовлетворяет ОДЗ)
2) $2 - \frac{\sqrt{3}}{\cos x} = 0 \implies 2\cos x = \sqrt{3} \implies \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. (удовлетворяет ОДЗ)
Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

в) $2\cos x - \ctg x - 2\sin x + 1 = 0$

ОДЗ: $\sin x \neq 0 \implies x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Заменим $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$:
$2\cos x - \frac{\cos x}{\sin x} - 2\sin x + 1 = 0$
Сгруппируем члены уравнения:
$(2\cos x - 2\sin x) - (\frac{\cos x}{\sin x} - 1) = 0$
$2(\cos x - \sin x) - \frac{\cos x - \sin x}{\sin x} = 0$
Вынесем общий множитель $(\cos x - \sin x)$:
$(\cos x - \sin x)(2 - \frac{1}{\sin x}) = 0$
Получаем два уравнения:
1) $\cos x - \sin x = 0$ (разделим на $\cos x$, т.к. если $\cos x = 0$, то и $\sin x=0$, что невозможно)
$1 - \tg x = 0 \implies \tg x = 1$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. (удовлетворяет ОДЗ)
2) $2 - \frac{1}{\sin x} = 0 \implies 2\sin x = 1 \implies \sin x = \frac{1}{2}$
$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. (удовлетворяет ОДЗ)
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

г) $2\sin x \cos x + \sqrt{2}\cos x - \sqrt{2}\sin x - 1 = 0$

Сгруппируем члены уравнения:
$(2\sin x \cos x + \sqrt{2}\cos x) - (\sqrt{2}\sin x + 1) = 0$
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:
$\cos x(2\sin x + \sqrt{2}) - 1(\sqrt{2}\sin x + 1) = 0$
Заметим, что $2\sin x + \sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{2}\sin x + 1)$. Подставим это в уравнение:
$\cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{ \sqrt{2}} (2\sin x + \sqrt{2}) - (\sqrt{2}\sin x + 1) = 0$
$\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x (2\sqrt{2}\sin x + 2) - (\sqrt{2}\sin x + 1) = 0$ ... этот путь сложен. Попробуем иначе.
В выражении $2\sin x + \sqrt{2}$ вынесем $2$, а в $\sqrt{2}\sin x + 1$ вынесем $\sqrt{2}$:
$2\cos x(\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}) - \sqrt{2}(\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}) = 0$
$2\cos x(\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}) - \sqrt{2}(\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}) = 0$
Вынесем общий множитель $(\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2})$:
$(\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2})(2\cos x - \sqrt{2}) = 0$
Получаем два уравнения:
1) $\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \implies \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ (или $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$), где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $2\cos x - \sqrt{2} = 0 \implies \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Объединим все решения: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.