Номер 7, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 7, страница 5.

П.7. Найдите значение выражения:

a) $(\cos 35^\circ + \cos 85^\circ)(\cos 275^\circ + \cos 325^\circ) + (\cos 5^\circ + \cos 125^\circ)(\cos 355^\circ - \cos 415^\circ);$

б) $\sin 6^\circ + \cos 6^\circ \cdot \mathrm{tg} 42^\circ;$

в) $\mathrm{tg} 23^\circ \cdot \mathrm{tg} 293^\circ + \sin 52^\circ \cdot \sin 128^\circ - \sin 322^\circ \cdot \sin 142^\circ;$

г) $\frac{(1 - 2 \sin^2 13^\circ) \cdot \cos 64^\circ}{2 \cos^2 19^\circ - 1}.$

а) Для решения этого выражения используем формулы преобразования суммы косинусов в произведение и формулы приведения.
Выражение: $(\cos35° + \cos85°)(\cos275° + \cos325°) + (\cos5° + \cos125°)(\cos355° - \cos415°)$.
1. Преобразуем первую скобку, используя формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$\cos35° + \cos85° = 2\cos\frac{35°+85°}{2}\cos\frac{85°-35°}{2} = 2\cos60°\cos25° = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos25° = \cos25°$.
2. Преобразуем вторую скобку:
$\cos275° + \cos325° = 2\cos\frac{275°+325°}{2}\cos\frac{325°-275°}{2} = 2\cos300°\cos25°$.
Используя формулу приведения, $\cos300° = \cos(360°-60°) = \cos60° = \frac{1}{2}$.
Тогда $2\cos300°\cos25° = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos25° = \cos25°$.
Произведение первых двух скобок: $\cos25° \cdot \cos25° = \cos^225°$.
3. Преобразуем третью скобку:
$\cos5° + \cos125° = 2\cos\frac{5°+125°}{2}\cos\frac{125°-5°}{2} = 2\cos65°\cos60° = 2 \cdot \cos65° \cdot \frac{1}{2} = \cos65°$.
По формуле приведения, $\cos65° = \cos(90°-25°) = \sin25°$.
4. Преобразуем четвертую скобку, используя формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$\cos355° = \cos(360°-5°) = \cos5°$.
$\cos415° = \cos(360°+55°) = \cos55°$.
$\cos355° - \cos415° = \cos5° - \cos55° = -2\sin\frac{5°+55°}{2}\sin\frac{5°-55°}{2} = -2\sin30°\sin(-25°) = -2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\sin25°) = \sin25°$.
Произведение третьей и четвертой скобок: $\sin25° \cdot \sin25° = \sin^225°$.
5. Сложим полученные результаты:
$\cos^225° + \sin^225° = 1$ (основное тригонометрическое тождество).
Ответ: 1.

б) Преобразуем выражение $\sin6° + \cos6° \cdot \tg42°$.
1. Заменим тангенс отношением синуса к косинусу: $\tg42° = \frac{\sin42°}{\cos42°}$.
Выражение принимает вид: $\sin6° + \cos6° \cdot \frac{\sin42°}{\cos42°}$.
2. Приведем к общему знаменателю:
$\frac{\sin6°\cos42° + \cos6°\sin42°}{\cos42°}$.
3. В числителе узнаем формулу синуса суммы: $\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \sin(\alpha+\beta)$.
$\frac{\sin(6°+42°)}{\cos42°} = \frac{\sin48°}{\cos42°}$.
4. Используем формулу приведения $\sin\alpha = \cos(90°-\alpha)$:
$\sin48° = \cos(90°-48°) = \cos42°$.
5. Подставим в выражение:
$\frac{\cos42°}{\cos42°} = 1$.
Ответ: 1.

в) Найдем значение выражения $\tg23° \cdot \tg293° + \sin52° \cdot \sin128° - \sin322° \cdot \sin142°$.
1. Рассмотрим первое слагаемое: $\tg23° \cdot \tg293°$.
Используем формулу приведения $\tg(270°+\alpha) = -\cot\alpha$.
$\tg293° = \tg(270°+23°) = -\cot23°$.
Тогда $\tg23° \cdot \tg293° = \tg23° \cdot (-\cot23°) = -\tg23° \cdot \frac{1}{\tg23°} = -1$.
2. Рассмотрим оставшуюся часть выражения: $\sin52° \cdot \sin128° - \sin322° \cdot \sin142°$.
Упростим каждый синус с помощью формул приведения:
$\sin128° = \sin(180°-52°) = \sin52°$.
$\sin322° = \sin(360°-38°) = -\sin38°$.
$\sin142° = \sin(180°-38°) = \sin38°$.
Подставим упрощенные значения в выражение:
$\sin52° \cdot \sin52° - (-\sin38°) \cdot \sin38° = \sin^252° + \sin^238°$.
Используем формулу приведения $\sin\alpha = \cos(90°-\alpha)$:
$\sin52° = \cos(90°-52°) = \cos38°$.
Выражение принимает вид: $\cos^238° + \sin^238° = 1$ (основное тригонометрическое тождество).
3. Сложим результаты из пунктов 1 и 2:
$-1 + 1 = 0$.
Ответ: 0.

г) Упростим выражение $\frac{(1 - 2\sin^2{13°}) \cdot \cos64°}{2\cos^2{19°} - 1}$.
1. Применим формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$.
2. Преобразуем числитель:
$1 - 2\sin^2{13°} = \cos(2 \cdot 13°) = \cos26°$.
Весь числитель: $\cos26° \cdot \cos64°$.
3. Преобразуем знаменатель:
$2\cos^2{19°} - 1 = \cos(2 \cdot 19°) = \cos38°$.
4. Выражение принимает вид: $\frac{\cos26° \cdot \cos64°}{\cos38°}$.
5. Используем формулу приведения $\cos\alpha = \sin(90°-\alpha)$:
$\cos64° = \sin(90°-64°) = \sin26°$.
Подставим в числитель: $\frac{\cos26° \cdot \sin26°}{\cos38°}$.
6. Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, из которой следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.
$\cos26° \cdot \sin26° = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 26°) = \frac{1}{2}\sin52°$.
7. Выражение принимает вид: $\frac{\frac{1}{2}\sin52°}{\cos38°}$.
8. Снова используем формулу приведения $\sin\alpha = \cos(90°-\alpha)$:
$\sin52° = \cos(90°-52°) = \cos38°$.
9. Подставим и получим окончательный результат:
$\frac{\frac{1}{2}\cos38°}{\cos38°} = \frac{1}{2}$.
Ответ: 0,5.