Номер 1, страница 4, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 1, страница 4.

П.1. Определите знак выражения:

а) $sin \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{5} cos \frac{7\pi}{4} sin \frac{8\pi}{5};$

б) $cos \frac{27\pi}{5} sin \frac{32\pi}{11} cos \frac{50\pi}{9} sin \frac{22\pi}{7};$

в) $sin \frac{\pi}{6} cos \frac{4\pi}{7} cos \frac{3\pi}{5} sin \frac{9\pi}{5};$

г) $sin \frac{35\pi}{3} cos \frac{21\pi}{8} sin \frac{18\pi}{5} sin \frac{17\pi}{7}.$

Для определения знака выражения необходимо определить знак каждого из множителей и найти знак их произведения. Знак тригонометрической функции зависит от четверти, в которой находится угол.

• I четверть ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$): $sin \alpha > 0, cos \alpha > 0$
• II четверть ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$): $sin \alpha > 0, cos \alpha < 0$
• III четверть ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$): $sin \alpha < 0, cos \alpha < 0$
• IV четверть ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$): $sin \alpha < 0, cos \alpha > 0$

а) $sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{7\pi}{4} \sin \frac{8\pi}{5}$

Определим знак каждого множителя:

• $sin \frac{\pi}{7}$: так как $0 < \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$, угол находится в I четверти. $sin \frac{\pi}{7} > 0$ (плюс).
• $cos \frac{2\pi}{5}$: так как $0 < \frac{2\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$, угол находится в I четверти. $cos \frac{2\pi}{5} > 0$ (плюс).
• $cos \frac{7\pi}{4}$: представим угол как $2\pi - \frac{\pi}{4}$. Это IV четверть. $cos \frac{7\pi}{4} > 0$ (плюс).
• $sin \frac{8\pi}{5}$: представим угол как $2\pi - \frac{2\pi}{5}$. Это IV четверть. $sin \frac{8\pi}{5} < 0$ (минус).

Произведение знаков: $(+) \cdot (+) \cdot (+) \cdot (-) = (-)$.

Ответ: знак минус.

б) $cos \frac{27\pi}{5} \sin \frac{32\pi}{11} \cos \frac{50\pi}{9} \sin \frac{22\pi}{7}$

Определим знак каждого множителя, предварительно упростив углы:

• $cos \frac{27\pi}{5} = cos(5\pi + \frac{2\pi}{5}) = cos(\pi + 2\pi \cdot 2 + \frac{2\pi}{5}) = cos(\pi + \frac{2\pi}{5})$. Угол в III четверти. $cos \frac{27\pi}{5} < 0$ (минус).
• $sin \frac{32\pi}{11} = sin(2\pi + \frac{10\pi}{11}) = sin(\frac{10\pi}{11})$. Так как $\frac{\pi}{2} < \frac{10\pi}{11} < \pi$, угол во II четверти. $sin \frac{32\pi}{11} > 0$ (плюс).
• $cos \frac{50\pi}{9} = cos(5\pi + \frac{5\pi}{9}) = cos(\pi + \frac{5\pi}{9})$. Так как $\frac{5\pi}{9} > \frac{\pi}{2}$, угол $\pi + \frac{5\pi}{9}$ находится в IV четверти. $cos \frac{50\pi}{9} > 0$ (плюс).
• $sin \frac{22\pi}{7} = sin(3\pi + \frac{\pi}{7}) = sin(\pi + \frac{\pi}{7})$. Угол в III четверти. $sin \frac{22\pi}{7} < 0$ (минус).

Произведение знаков: $(-) \cdot (+) \cdot (+) \cdot (-) = (+)$.

Ответ: знак плюс.

в) $sin \frac{\pi}{6} \cos \frac{4\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{5} \sin \frac{9\pi}{5}$

Определим знак каждого множителя:

• $sin \frac{\pi}{6}$: угол в I четверти, $sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} > 0$ (плюс).
• $cos \frac{4\pi}{7}$: так как $\frac{\pi}{2} < \frac{4\pi}{7} < \pi$, угол во II четверти. $cos \frac{4\pi}{7} < 0$ (минус).
• $cos \frac{3\pi}{5}$: так как $\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{5} < \pi$, угол во II четверти. $cos \frac{3\pi}{5} < 0$ (минус).
• $sin \frac{9\pi}{5} = sin(2\pi - \frac{\pi}{5})$. Угол в IV четверти. $sin \frac{9\pi}{5} < 0$ (минус).

Произведение знаков: $(+) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (-) = (-)$.

Ответ: знак минус.

г) $sin \frac{35\pi}{3} \cos \frac{21\pi}{8} \sin \frac{18\pi}{5} \sin \frac{17\pi}{7}$

Определим знак каждого множителя, предварительно упростив углы:

• $sin \frac{35\pi}{3} = sin(12\pi - \frac{\pi}{3}) = sin(-\frac{\pi}{3})$. Угол в IV четверти. $sin \frac{35\pi}{3} < 0$ (минус).
• $cos \frac{21\pi}{8} = cos(2\pi + \frac{5\pi}{8}) = cos(\frac{5\pi}{8})$. Так как $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{8} < \pi$, угол во II четверти. $cos \frac{21\pi}{8} < 0$ (минус).
• $sin \frac{18\pi}{5} = sin(4\pi - \frac{2\pi}{5}) = sin(-\frac{2\pi}{5})$. Угол в IV четверти. $sin \frac{18\pi}{5} < 0$ (минус).
• $sin \frac{17\pi}{7} = sin(2\pi + \frac{3\pi}{7}) = sin(\frac{3\pi}{7})$. Так как $0 < \frac{3\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$, угол в I четверти. $sin \frac{17\pi}{7} > 0$ (плюс).

Произведение знаков: $(-) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (+) = (-)$.

Ответ: знак минус.