Номер 8, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 8, страница 6.

П.8. Упростите выражение $\frac{\sqrt{2} \cos \alpha - 2 \cos \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right)}{2 \sin \left( \frac{\pi}{6} + \alpha \right) - \sqrt{3} \sin \alpha} + \sqrt{2} \operatorname{tg} \alpha.$

Для упрощения данного выражения, преобразуем отдельно числитель и знаменатель дроби, используя тригонометрические формулы сложения аргументов.

1. Преобразуем числитель: $ \sqrt{2}\cos\alpha - 2\cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) $.

Используем формулу косинуса разности: $ \cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $.

Применим ее к выражению $ \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) $:

$ \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha + \sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha $.

Так как $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:

$ \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) $.

Теперь подставим это в исходный числитель:

$ \sqrt{2}\cos\alpha - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) = \sqrt{2}\cos\alpha - \sqrt{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) = \sqrt{2}\cos\alpha - \sqrt{2}\cos\alpha - \sqrt{2}\sin\alpha = -\sqrt{2}\sin\alpha $.

2. Преобразуем знаменатель: $ 2\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \sqrt{3}\sin\alpha $.

Используем формулу синуса суммы: $ \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $.

Применим ее к выражению $ \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) $:

$ \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{6}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{6}\sin\alpha $.

Так как $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $ и $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем:

$ \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $.

Теперь подставим это в исходный знаменатель:

$ 2\left(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) - \sqrt{3}\sin\alpha = (\cos\alpha + \sqrt{3}\sin\alpha) - \sqrt{3}\sin\alpha = \cos\alpha $.

3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение.

Выражение $ \frac{\sqrt{2}\cos\alpha - 2\cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)}{2\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \sqrt{3}\sin\alpha} + \sqrt{2}\tan\alpha $ принимает вид:

$ \frac{-\sqrt{2}\sin\alpha}{\cos\alpha} + \sqrt{2}\tan\alpha $.

Используя определение тангенса $ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $, заменим дробь на тангенс:

$ -\sqrt{2}\tan\alpha + \sqrt{2}\tan\alpha = 0 $.

Ответ: $0$