Номер 15, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 15, страница 7.

П.15. а) $ \frac{|\sin x|}{\sin x} = 1 - \cos 2x; $

б) $ \frac{\cos x}{|\cos x|} = 1 - \sin 2x. $

а) Решим уравнение $\frac{|\sin x|}{\sin x} = 1 - \cos 2x$.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $\sin x \neq 0$, что означает $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая, в зависимости от знака $\sin x$.

1. Если $\sin x > 0$, то есть $x \in (2\pi n, \pi + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $|\sin x| = \sin x$, и левая часть уравнения равна $\frac{\sin x}{\sin x} = 1$.
Уравнение принимает вид:$1 = 1 - \cos 2x$
$\cos 2x = 0$
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi m$, $m \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}$, $m \in \mathbb{Z}$
Теперь необходимо отобрать те корни, которые удовлетворяют условию $\sin x > 0$.
При $m=0, x = \frac{\pi}{4}$. $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$. Этот корень подходит.
При $m=1, x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$. $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$. Этот корень подходит.
При $m=2, x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$. $\sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$. Этот корень не подходит.
При $m=3, x = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{2} = \frac{7\pi}{4}$. $\sin(\frac{7\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$. Этот корень не подходит.
Учитывая периодичность, подходят серии корней $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ и $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\sin x < 0$, то есть $x \in (\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $|\sin x| = -\sin x$, и левая часть уравнения равна $\frac{-\sin x}{\sin x} = -1$.
Уравнение принимает вид:
$-1 = 1 - \cos 2x$
$\cos 2x = 2$
Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $[-1, 1]$.

Объединяя результаты из первого случая, получаем окончательное решение.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $\frac{\cos x}{|\cos x|} = 1 - \sin 2x$.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $|\cos x| \neq 0$, что означает $\cos x \neq 0$, или $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая, в зависимости от знака $\cos x$.

1. Если $\cos x > 0$, то есть $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $|\cos x| = \cos x$, и левая часть уравнения равна $\frac{\cos x}{\cos x} = 1$.
Уравнение принимает вид:$1 = 1 - \sin 2x$
$\sin 2x = 0$
$2x = \pi m$, $m \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi m}{2}$, $m \in \mathbb{Z}$
Теперь необходимо отобрать те корни, которые удовлетворяют условию $\cos x > 0$.
При $m=0, x=0$. $\cos(0) = 1 > 0$. Этот корень подходит.
При $m=1, x=\frac{\pi}{2}$. $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Этот корень не входит в ОДЗ.
При $m=2, x=\pi$. $\cos(\pi) = -1 < 0$. Этот корень не подходит.
При $m=3, x=\frac{3\pi}{2}$. $\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$. Этот корень не входит в ОДЗ.
При $m=4, x=2\pi$. $\cos(2\pi) = 1 > 0$. Этот корень подходит (совпадает с $x=0$ с учетом периода).
Учитывая периодичность, подходит серия корней $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\cos x < 0$, то есть $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $|\cos x| = -\cos x$, и левая часть уравнения равна $\frac{\cos x}{-\cos x} = -1$.
Уравнение принимает вид:
$-1 = 1 - \sin 2x$
$\sin 2x = 2$
Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $[-1, 1]$.

Объединяя результаты из первого случая, получаем окончательное решение.
Ответ: $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.