Номер 17, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 17, страница 7.

П.17. Найдите наименьший положительный корень уравнения

$\cos x \cos 2x = \cos 3x.$

Для решения уравнения $\cos x \cos 2x = \cos 3x$ преобразуем его левую часть, используя тригонометрическую формулу произведения косинусов: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.

Применим эту формулу, положив $\alpha = 2x$ и $\beta = x$:

$\cos 2x \cos x = \frac{1}{2}(\cos(2x - x) + \cos(2x + x)) = \frac{1}{2}(\cos x + \cos 3x)$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$\frac{1}{2}(\cos x + \cos 3x) = \cos 3x$

Умножим обе части уравнения на 2:

$\cos x + \cos 3x = 2\cos 3x$

Перенесем $\cos 3x$ из левой части в правую:

$\cos x = 2\cos 3x - \cos 3x$

$\cos x = \cos 3x$

Уравнение вида $\cos f(x) = \cos g(x)$ равносильно совокупности $f(x) = \pm g(x) + 2\pi k$, где $k$ - любое целое число. В нашем случае это означает:

$3x = x + 2\pi k$ или $3x = -x + 2\pi k$.

Рассмотрим оба случая:

1. $3x = x + 2\pi k$

$2x = 2\pi k$

$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $3x = -x + 2\pi n$ (используем другую букву для целого числа, чтобы не путать серии решений)

$4x = 2\pi n$

$x = \frac{2\pi n}{4} = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Заметим, что первая серия корней ($x = \pi k$) является подмножеством второй серии ($x = \frac{\pi n}{2}$), поскольку при $n=2k$ мы получаем $x = \frac{\pi (2k)}{2} = \pi k$. Таким образом, все решения уравнения можно описать одной формулой: $x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Нам необходимо найти наименьший положительный корень, то есть $x > 0$.

$\frac{\pi n}{2} > 0$

Это неравенство выполняется для всех целых $n > 0$. Наименьшим таким целым числом является $n=1$.

Подставляя $n=1$ в формулу для корней, находим наименьший положительный корень:

$x = \frac{\pi \cdot 1}{2} = \frac{\pi}{2}$

Ответ: $\frac{\pi}{2}$