Номер 22, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 22, страница 8.

П.22. Решите уравнение $f'(x) + f(x) = 0$, если $f(x) = 2x^2 + 3x + 2$.

Для решения уравнения $f'(x) + f(x) = 0$ с заданной функцией $f(x) = 2x^2 + 3x + 2$, первым шагом найдем производную функции $f(x)$.

Используя правила дифференцирования, находим $f'(x)$:

$f'(x) = (2x^2 + 3x + 2)' = (2x^2)' + (3x)' + (2)' = 2 \cdot 2x + 3 + 0 = 4x + 3$.

Теперь подставим выражения для $f(x)$ и $f'(x)$ в исходное уравнение:

$(4x + 3) + (2x^2 + 3x + 2) = 0$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 + (4x + 3x) + (3 + 2) = 0$

$2x^2 + 7x + 5 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=2$, $b=7$, $c=5$. Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$.

Поскольку дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 3}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} = -2.5$.

$x_2 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.

Ответ: $-2.5; -1$.