Номер 27, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 27, страница 8.

сательная образует с осью x угол, равный 135°.

П.27. Составьте уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$, если:

a) $f(x) = 3x^2 - 5x + 12$, $x_0 = 1$;

б) $f(x) = \frac{x^3 + x}{x^2 - 1}$, $x_0 = 2$;

в) $f(x) = \frac{\sqrt{2x^2 + 1}}{x^3}$, $x_0 = -2$;

г) $f(x) = 3 - \frac{2}{\pi}\sin \pi x - \sqrt{x}$, $x_0 = 1.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ находится по формуле: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

а) Дано: $f(x) = 3x^2 - 5x + 12$, $x_0 = 1$.

1. Найдем значение функции в точке касания $x_0$:
$f(1) = 3 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 + 12 = 3 - 5 + 12 = 10$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (3x^2 - 5x + 12)' = 6x - 5$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$, которое равно угловому коэффициенту касательной:
$f'(1) = 6 \cdot 1 - 5 = 1$.

4. Подставим найденные значения $x_0=1$, $f(x_0)=10$ и $f'(x_0)=1$ в уравнение касательной:
$y = 10 + 1 \cdot (x - 1)$
$y = 10 + x - 1$
$y = x + 9$.

Ответ: $y = x + 9$.

б) Дано: $f(x) = \frac{x^3 + x}{x^2 - 1}$, $x_0 = 2$.

1. Найдем значение функции в точке касания $x_0$:
$f(2) = \frac{2^3 + 2}{2^2 - 1} = \frac{8 + 2}{4 - 1} = \frac{10}{3}$.

2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(x^3 + x)'(x^2 - 1) - (x^3 + x)(x^2 - 1)'}{(x^2 - 1)^2} = \frac{(3x^2 + 1)(x^2 - 1) - (x^3 + x)(2x)}{(x^2 - 1)^2}$
$f'(x) = \frac{3x^4 - 3x^2 + x^2 - 1 - 2x^4 - 2x^2}{(x^2 - 1)^2} = \frac{x^4 - 4x^2 - 1}{(x^2 - 1)^2}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(2) = \frac{2^4 - 4 \cdot 2^2 - 1}{(2^2 - 1)^2} = \frac{16 - 16 - 1}{(4 - 1)^2} = -\frac{1}{9}$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = \frac{10}{3} + (-\frac{1}{9})(x - 2)$
$y = \frac{10}{3} - \frac{1}{9}x + \frac{2}{9}$
$y = \frac{30}{9} + \frac{2}{9} - \frac{1}{9}x$
$y = -\frac{1}{9}x + \frac{32}{9}$.

Ответ: $y = -\frac{1}{9}x + \frac{32}{9}$.

в) Дано: $f(x) = \frac{\sqrt{2x^2 + 1}}{x^3}$, $x_0 = -2$.

1. Найдем значение функции в точке касания $x_0$:
$f(-2) = \frac{\sqrt{2(-2)^2 + 1}}{(-2)^3} = \frac{\sqrt{8 + 1}}{-8} = \frac{3}{-8} = -\frac{3}{8}$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = \frac{(\sqrt{2x^2 + 1})' \cdot x^3 - \sqrt{2x^2 + 1} \cdot (x^3)'}{(x^3)^2} = \frac{\frac{4x}{2\sqrt{2x^2 + 1}} \cdot x^3 - \sqrt{2x^2 + 1} \cdot 3x^2}{x^6}$
$f'(x) = \frac{\frac{2x^4}{\sqrt{2x^2 + 1}} - 3x^2\sqrt{2x^2 + 1}}{x^6} = \frac{2x^4 - 3x^2(2x^2 + 1)}{x^6\sqrt{2x^2 + 1}} = \frac{2x^4 - 6x^4 - 3x^2}{x^6\sqrt{2x^2 + 1}}$
$f'(x) = \frac{-4x^4 - 3x^2}{x^6\sqrt{2x^2 + 1}} = \frac{x^2(-4x^2 - 3)}{x^6\sqrt{2x^2 + 1}} = \frac{-4x^2 - 3}{x^4\sqrt{2x^2 + 1}}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(-2) = \frac{-4(-2)^2 - 3}{(-2)^4\sqrt{2(-2)^2 + 1}} = \frac{-4(4) - 3}{16\sqrt{9}} = \frac{-16 - 3}{16 \cdot 3} = -\frac{19}{48}$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = -\frac{3}{8} - \frac{19}{48}(x - (-2))$
$y = -\frac{3}{8} - \frac{19}{48}(x + 2)$
$y = -\frac{3}{8} - \frac{19}{48}x - \frac{38}{48}$
$y = -\frac{19}{48}x - \frac{18}{48} - \frac{38}{48}$
$y = -\frac{19}{48}x - \frac{56}{48}$
$y = -\frac{19}{48}x - \frac{7}{6}$.

Ответ: $y = -\frac{19}{48}x - \frac{7}{6}$.

г) Дано: $f(x) = 3 - \frac{2}{\pi}\sin(\pi x) - \sqrt{x}$, $x_0 = 1$.

1. Найдем значение функции в точке касания $x_0$:
$f(1) = 3 - \frac{2}{\pi}\sin(\pi \cdot 1) - \sqrt{1} = 3 - \frac{2}{\pi} \cdot 0 - 1 = 2$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (3 - \frac{2}{\pi}\sin(\pi x) - \sqrt{x})' = 0 - \frac{2}{\pi}\cos(\pi x) \cdot \pi - \frac{1}{2\sqrt{x}} = -2\cos(\pi x) - \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(1) = -2\cos(\pi) - \frac{1}{2\sqrt{1}} = -2(-1) - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 2 + \frac{3}{2}(x - 1)$
$y = 2 + \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}$
$y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$.

Ответ: $y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$.