Номер 33, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 33, страница 9.

П.33. Исследуйте функцию и постройте её график:

а) $y = \frac{3x - x^2}{x^2 - 3x + 4}$;б) $y = (x + 1)^2(x + 2).$

а) $y = \frac{3x - x^2}{x^2 - 3x + 4}$

Проведем полное исследование функции. Для удобства преобразуем выражение:

$y = \frac{-(x^2 - 3x)}{x^2 - 3x + 4} = \frac{-(x^2 - 3x + 4) + 4}{x^2 - 3x + 4} = -1 + \frac{4}{x^2 - 3x + 4}$

Дальнейшее исследование будем проводить для функции $y = -1 + \frac{4}{x^2 - 3x + 4}$.

• 1. Область определения

  Знаменатель дроби $x^2 - 3x + 4$. Найдем его корни. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен, знаменатель всегда больше нуля. Следовательно, функция определена для всех действительных чисел.

  Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

• 2. Четность и периодичность

  $y(-x) = \frac{3(-x) - (-x)^2}{(-x)^2 - 3(-x) + 4} = \frac{-3x - x^2}{x^2 + 3x + 4}$.

  Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида). Функция непериодическая.

• 3. Точки пересечения с осями координат

  Пересечение с осью Oy (x=0): $y(0) = \frac{0}{4} = 0$. Точка $(0, 0)$.

  Пересечение с осью Ox (y=0): $\frac{3x - x^2}{x^2 - 3x + 4} = 0 \Rightarrow 3x - x^2 = 0 \Rightarrow x(3 - x) = 0$. Корни $x_1 = 0$, $x_2 = 3$. Точки $(0, 0)$ и $(3, 0)$.

• 4. Асимптоты

  Вертикальные асимптоты: отсутствуют, так как знаменатель нигде не обращается в ноль.

  Горизонтальные асимптоты: найдем предел функции при $x \to \pm\infty$.

  $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x - x^2}{x^2 - 3x + 4} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2(\frac{3}{x} - 1)}{x^2(1 - \frac{3}{x} + \frac{4}{x^2})} = \frac{-1}{1} = -1$.

  Следовательно, $y = -1$ является горизонтальной асимптотой.

  Наклонные асимптоты: отсутствуют, так как есть горизонтальная.

• 5. Промежутки монотонности и точки экстремума

  Найдем первую производную: $y' = \left(-1 + \frac{4}{x^2 - 3x + 4}\right)' = -4(x^2 - 3x + 4)^{-2}(2x - 3) = \frac{-8x + 12}{(x^2 - 3x + 4)^2}$.

  Приравняем производную к нулю: $y' = 0 \Rightarrow -8x + 12 = 0 \Rightarrow x = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$.

  Определим знаки производной на интервалах:

  При $x < 1.5$, $y' > 0$, функция возрастает на $(-\infty, 1.5)$.

  При $x > 1.5$, $y' < 0$, функция убывает на $(1.5, +\infty)$.

  В точке $x = 1.5$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума.

  $y_{max} = y(1.5) = \frac{3(1.5) - (1.5)^2}{(1.5)^2 - 3(1.5) + 4} = \frac{4.5 - 2.25}{2.25 - 4.5 + 4} = \frac{2.25}{1.75} = \frac{9}{7}$.

  Точка максимума: $(1.5, \frac{9}{7})$.

• 6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба

  Найдем вторую производную: $y'' = \left(\frac{12 - 8x}{(x^2 - 3x + 4)^2}\right)' = \frac{-8(x^2 - 3x + 4)^2 - (12 - 8x) \cdot 2(x^2 - 3x + 4)(2x-3)}{(x^2 - 3x + 4)^4} = \frac{8(3x^2 - 9x + 5)}{(x^2 - 3x + 4)^3}$.

  Приравняем вторую производную к нулю: $3x^2 - 9x + 5 = 0$.

  Корни: $x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 60}}{6} = \frac{9 \pm \sqrt{21}}{6}$.

  $x_1 = \frac{9 - \sqrt{21}}{6} \approx 0.74$, $x_2 = \frac{9 + \sqrt{21}}{6} \approx 2.26$.

  Знаменатель $y''$ всегда положителен, поэтому знак $y''$ совпадает со знаком числителя $3x^2 - 9x + 5$.

  При $x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)$, $y'' > 0$, график функции вогнутый (выпуклый вниз).

  При $x \in (x_1, x_2)$, $y'' < 0$, график функции выпуклый (выпуклый вверх).

  Точки $x_1$ и $x_2$ — абсциссы точек перегиба. Ордината в этих точках одинакова из-за симметрии графика относительно прямой $x=1.5$ и равна $y = \frac{5}{7}$.

  Точки перегиба: $(\frac{9 - \sqrt{21}}{6}, \frac{5}{7})$ и $(\frac{9 + \sqrt{21}}{6}, \frac{5}{7})$.

• 7. Построение графика

  На основе проведенного исследования строим график. Он начинается вблизи асимптоты $y=-1$ слева, возрастает, проходит через начало координат, в точке $(\approx 0.74, \approx 0.71)$ имеет перегиб (становится выпуклым), достигает максимума в $(1.5, 9/7 \approx 1.29)$, затем убывает. В точке $(\approx 2.26, \approx 0.71)$ снова перегиб (становится вогнутым), график пересекает ось Ox в точке $(3,0)$ и стремится к асимптоте $y=-1$ справа сверху.

Ответ: Проведено исследование функции. График функции имеет горизонтальную асимптоту $y=-1$, точку максимума $(1.5, 9/7)$, две точки перегиба $(\frac{9 \pm \sqrt{21}}{6}, \frac{5}{7})$ и пересекает оси координат в точках $(0,0)$ и $(3,0)$.

---

б) $y = (x + 1)^2 (x + 2)$

Проведем полное исследование функции. Раскроем скобки: $y = (x^2 + 2x + 1)(x + 2) = x^3 + 4x^2 + 5x + 2$.

• 1. Область определения

  Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.

  Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

• 2. Четность и периодичность

  $y(-x) = (-x)^3 + 4(-x)^2 + 5(-x) + 2 = -x^3 + 4x^2 - 5x + 2$.

  Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. Функция непериодическая.

• 3. Точки пересечения с осями координат

  Пересечение с осью Oy (x=0): $y(0) = (0+1)^2(0+2) = 2$. Точка $(0, 2)$.

  Пересечение с осью Ox (y=0): $(x+1)^2(x+2) = 0$. Корни $x_1 = -1$ (кратность 2) и $x_2 = -2$. Точки $(-1, 0)$ и $(-2, 0)$. В точке $x=-1$ график касается оси Ox.

• 4. Асимптоты

  Так как функция является многочленом, вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты отсутствуют.

  $\lim_{x \to +\infty} y = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} y = -\infty$.

• 5. Промежутки монотонности и точки экстремума

  Найдем первую производную: $y' = (x^3 + 4x^2 + 5x + 2)' = 3x^2 + 8x + 5$.

  Приравняем производную к нулю: $3x^2 + 8x + 5 = 0$.

  Корни: $x = \frac{-8 \pm \sqrt{64-60}}{6} = \frac{-8 \pm 2}{6}$. $x_1 = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}$, $x_2 = -1$.

  Определим знаки производной:

  При $x \in (-\infty, -5/3)$, $y' > 0$, функция возрастает.

  При $x \in (-5/3, -1)$, $y' < 0$, функция убывает.

  При $x \in (-1, +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

  В точке $x = -5/3$ — максимум. $y_{max} = y(-5/3) = (-5/3 + 1)^2(-5/3 + 2) = (-2/3)^2(1/3) = 4/27$. Точка максимума: $(-5/3, 4/27)$.

  В точке $x = -1$ — минимум. $y_{min} = y(-1) = (-1+1)^2(-1+2) = 0$. Точка минимума: $(-1, 0)$.

• 6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба

  Найдем вторую производную: $y'' = (3x^2 + 8x + 5)' = 6x + 8$.

  Приравняем вторую производную к нулю: $6x + 8 = 0 \Rightarrow x = -4/3$.

  При $x < -4/3$, $y'' < 0$, график функции выпуклый (выпуклый вверх).

  При $x > -4/3$, $y'' > 0$, график функции вогнутый (выпуклый вниз).

  Точка $x = -4/3$ — абсцисса точки перегиба. $y(-4/3) = (-4/3+1)^2(-4/3+2) = (-1/3)^2(2/3) = 2/27$.

  Точка перегиба: $(-4/3, 2/27)$.

• 7. Построение графика

  На основе проведенного исследования строим график. Функция приходит из $-\infty$, возрастает до точки максимума $(-5/3, 4/27) \approx (-1.67, 0.15)$, пересекая перед этим ось Ox в точке $(-2, 0)$. Затем убывает, проходит через точку перегиба $(-4/3, 2/27) \approx (-1.33, 0.07)$ и достигает минимума в точке $(-1, 0)$, где касается оси Ox. После этого функция возрастает, пересекает ось Oy в точке $(0, 2)$ и уходит в $+\infty$.

Ответ: Проведено исследование функции. График функции — кубическая парабола, имеющая точку максимума $(-5/3, 4/27)$, точку минимума $(-1, 0)$ и точку перегиба $(-4/3, 2/27)$. График пересекает оси координат в точках $(-2,0)$, $(-1,0)$ (касание) и $(0,2)$.