Номер 1.2, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.2, страница 10.

1.2. Запишите в стандартном виде произвольный многочлен степени n, если:

а) $n = 0$;

б) $n = 3$;

в) $n = 1$;

г) $n = 4$.

а) Стандартный вид многочлена степени $n$ от одной переменной (например, $x$) — это выражение вида $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, в котором коэффициенты $a_i$ являются числами, а старший коэффициент $a_n$ не равен нулю. Для случая $n=0$ многочлен имеет вид $a_0 x^0$. Так как $x^0 = 1$, выражение упрощается до $a_0$. Условие $a_n \neq 0$ здесь означает $a_0 \neq 0$. Таким образом, произвольный многочлен нулевой степени — это любое число, не равное нулю.
Ответ: $a_0$, где $a_0$ — произвольное число и $a_0 \neq 0$.

б) Для $n=3$ произвольный многочлен третьей степени в стандартном виде записывается как сумма членов с убывающими степенями переменной от 3 до 0. Общий вид такого многочлена: $a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$. Чтобы степень многочлена была равна именно 3, необходимо, чтобы коэффициент при старшей степени ($x^3$) не был равен нулю, то есть $a_3 \neq 0$. Остальные коэффициенты ($a_2, a_1, a_0$) могут быть любыми числами.
Ответ: $a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$, где $a_3 \neq 0$, а $a_2, a_1, a_0$ — произвольные числа.

в) Для $n=1$ произвольный многочлен первой степени (или линейный многочлен) в стандартном виде имеет вид $a_1 x^1 + a_0 x^0$, что записывается как $a_1 x + a_0$. Чтобы степень многочлена была равна 1, коэффициент при $x$ (старший коэффициент) должен быть отличен от нуля ($a_1 \neq 0$). Коэффициент $a_0$ (свободный член) может быть любым числом.
Ответ: $a_1 x + a_0$, где $a_1 \neq 0$, а $a_0$ — произвольное число.

г) Для $n=4$ произвольный многочлен четвертой степени в стандартном виде представляет собой сумму одночленов от четвертой степени до нулевой: $a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$. Условие того, что степень многочлена равна именно 4, заключается в том, что коэффициент при старшей степени $x^4$ не равен нулю ($a_4 \neq 0$). Остальные коэффициенты ($a_3, a_2, a_1, a_0$) могут быть любыми числами.
Ответ: $a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$, где $a_4 \neq 0$, а $a_3, a_2, a_1, a_0$ — произвольные числа.