Номер 1.9, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.9, страница 11.

1.9. Пусть $f(x) = x^2 - x + 1$ и $\varphi(x) = 2x + 1$; найдите:

а) $f^2(x)$;

б) $f^3(x)$;

в) $f(x) - \varphi^3(x)$;

г) $(2f(x) - x\varphi(x))^2$.

Даны функции $f(x) = x^2 - x + 1$ и $\phi(x) = 2x + 1$.

а) $f^2(x)$

Выражение $f^2(x)$ означает $[f(x)]^2$. Необходимо возвести в квадрат многочлен $f(x)$.
$f^2(x) = (x^2 - x + 1)^2$
Используем формулу квадрата суммы трех слагаемых $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$, где $a = x^2$, $b = -x$, $c = 1$.
$f^2(x) = (x^2)^2 + (-x)^2 + 1^2 + 2(x^2)(-x) + 2(x^2)(1) + 2(-x)(1)$
$f^2(x) = x^4 + x^2 + 1 - 2x^3 + 2x^2 - 2x$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$f^2(x) = x^4 - 2x^3 + (x^2 + 2x^2) - 2x + 1$
$f^2(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1$
Ответ: $x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1$

б) $f^3(x)$

Выражение $f^3(x)$ означает $[f(x)]^3$. Мы можем вычислить его, умножив результат из пункта а), то есть $f^2(x)$, на $f(x)$.
$f^3(x) = f^2(x) \cdot f(x) = (x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1)(x^2 - x + 1)$
Выполним умножение многочленов:
$x^2(x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1) = x^6 - 2x^5 + 3x^4 - 2x^3 + x^2$
$-x(x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1) = -x^5 + 2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x$
$1(x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1$
Сложим полученные выражения:
$f^3(x) = x^6 + (-2-1)x^5 + (3+2+1)x^4 + (-2-3-2)x^3 + (1+2+3)x^2 + (-1-2)x + 1$
$f^3(x) = x^6 - 3x^5 + 6x^4 - 7x^3 + 6x^2 - 3x + 1$
Ответ: $x^6 - 3x^5 + 6x^4 - 7x^3 + 6x^2 - 3x + 1$

в) $f(x) - \phi^3(x)$

Сначала найдем $\phi^3(x) = [\phi(x)]^3$.
$\phi^3(x) = (2x + 1)^3$
Используем формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, где $a = 2x$, $b = 1$.
$\phi^3(x) = (2x)^3 + 3(2x)^2(1) + 3(2x)(1)^2 + 1^3$
$\phi^3(x) = 8x^3 + 3(4x^2) + 6x + 1$
$\phi^3(x) = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$
Теперь вычтем полученное выражение из $f(x)$:
$f(x) - \phi^3(x) = (x^2 - x + 1) - (8x^3 + 12x^2 + 6x + 1)$
$f(x) - \phi^3(x) = x^2 - x + 1 - 8x^3 - 12x^2 - 6x - 1$
Приведем подобные слагаемые:
$f(x) - \phi^3(x) = -8x^3 + (1-12)x^2 + (-1-6)x + (1-1)$
$f(x) - \phi^3(x) = -8x^3 - 11x^2 - 7x$
Ответ: $-8x^3 - 11x^2 - 7x$

г) $(2f(x) - x\phi(x))^2$

Сначала найдем выражение в скобках $2f(x) - x\phi(x)$.
$2f(x) = 2(x^2 - x + 1) = 2x^2 - 2x + 2$
$x\phi(x) = x(2x + 1) = 2x^2 + x$
Теперь вычтем второе из первого:
$2f(x) - x\phi(x) = (2x^2 - 2x + 2) - (2x^2 + x)$
$2f(x) - x\phi(x) = 2x^2 - 2x + 2 - 2x^2 - x$
$2f(x) - x\phi(x) = -3x + 2$
Теперь возведем полученное выражение в квадрат:
$(2f(x) - x\phi(x))^2 = (-3x + 2)^2$
Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 2$ и $b = 3x$.
$(-3x + 2)^2 = (2 - 3x)^2 = 2^2 - 2(2)(3x) + (3x)^2$
$(-3x + 2)^2 = 4 - 12x + 9x^2$
Ответ: $9x^2 - 12x + 4$