Номер 1.10, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.10, страница 11.

1.10. При каких значениях параметра $a$:

a) коэффициент при $x^2$ в стандартном виде многочлена $(x^2 - 3x + a)(x^2 - ax + 2)$ равен 0;

б) коэффициент при $x^3$ в стандартном виде многочлена $(x^2 - (a - 1)x + a)(x^2 + a^2x + 2a)$ равен 7?

а)

Для того чтобы найти коэффициент при $x^2$ в стандартном виде многочлена, который является произведением $(x^2 - 3x + a)(x^2 - ax + 2)$, необходимо определить, какие произведения одночленов из первой и второй скобок дадут в результате слагаемое с $x^2$.

Слагаемые с $x^2$ получаются при перемножении следующих членов:

• Члена $x^2$ из первого многочлена и свободного члена из второго: $x^2 \cdot 2 = 2x^2$.
• Члена с $x$ из первого многочлена и члена с $x$ из второго: $(-3x) \cdot (-ax) = 3ax^2$.
• Свободного члена из первого многочлена и члена $x^2$ из второго: $a \cdot x^2 = ax^2$.

Теперь сложим полученные слагаемые, чтобы найти общий член с $x^2$:

$2x^2 + 3ax^2 + ax^2 = (2 + 3a + a)x^2 = (2 + 4a)x^2$.

Таким образом, коэффициент при $x^2$ равен $(2 + 4a)$.

По условию задачи, этот коэффициент должен быть равен 0. Составим и решим уравнение:

$2 + 4a = 0$

$4a = -2$

$a = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $a = -0,5$.

б)

Рассмотрим произведение многочленов $(x^2 - (a - 1)x + a)(x^2 + a^2x + 2a)$. Нам нужно найти коэффициент при $x^3$.

Слагаемые с $x^3$ получаются при перемножении следующих членов:

• Члена $x^2$ из первого многочлена и члена с $x$ из второго: $x^2 \cdot (a^2x) = a^2x^3$.
• Члена с $x$ из первого многочлена и члена $x^2$ из второго: $(-(a - 1)x) \cdot x^2 = -(a - 1)x^3 = (1 - a)x^3$.

Сложим полученные слагаемые, чтобы найти общий член с $x^3$:

$a^2x^3 + (1 - a)x^3 = (a^2 - a + 1)x^3$.

Коэффициент при $x^3$ равен $(a^2 - a + 1)$.

По условию задачи, этот коэффициент равен 7. Составим уравнение:

$a^2 - a + 1 = 7$

$a^2 - a - 6 = 0$

Это квадратное уравнение относительно параметра $a$. Решим его, найдя корни. Коэффициенты уравнения: $A=1$, $B=-1$, $C=-6$.

Вычислим дискриминант:

$D = B^2 - 4AC = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$a_1 = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3$

$a_2 = \frac{-B - \sqrt{D}}{2A} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2$

Следовательно, искомые значения параметра $a$ равны -2 и 3.

Ответ: $a = -2$; $a = 3$.