Номер 1.17, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.17, страница 12.

1.17. При каких значениях параметра $a$ многочлен

$(a^2 - 4)x^4 - 2x^3 + (2a - 1)x - 4$

будет:

а) приведённым многочленом;

б) многочленом четвёртой степени;

в) многочленом третьей степени;

г) принимать одинаковые значения в точках $x = 1$ и $x = -1$?

Дан многочлен $P(x) = (a^2 - 4)x^4 - 2x^3 + (2a - 1)x - 4$.

а) приведённым многочленом

Приведённый многочлен — это многочлен, у которого коэффициент при старшей степени равен 1. В данном многочлене старшая возможная степень равна 4.

Для того чтобы многочлен был приведённым многочленом четвёртой степени, коэффициент при $x^4$ должен быть равен 1.

Приравняем коэффициент при $x^4$ к единице:

$a^2 - 4 = 1$

$a^2 = 5$

$a = \pm\sqrt{5}$

При этих значениях $a$ коэффициент при $x^4$ равен 1 (и не равен 0), поэтому степень многочлена действительно равна 4. Если степень многочлена была бы равна 3 (то есть $a^2-4=0$), то старший член был бы $-2x^3$, и коэффициент при нём -2, а не 1. Следовательно, в этом случае многочлен не является приведённым.

Таким образом, многочлен является приведённым при $a = \sqrt{5}$ или $a = -\sqrt{5}$.

Ответ: $a = \sqrt{5}, a = -\sqrt{5}$.

б) многочленом четвёртой степени

Степень многочлена определяется наивысшей степенью переменной, коэффициент при которой отличен от нуля. Чтобы данный многочлен был многочленом четвёртой степени, коэффициент при $x^4$ не должен быть равен нулю.

Коэффициент при $x^4$ равен $(a^2 - 4)$.

Составим и решим неравенство:

$a^2 - 4 \neq 0$

$a^2 \neq 4$

$a \neq 2$ и $a \neq -2$

Следовательно, многочлен является многочленом четвёртой степени при любых значениях $a$, кроме 2 и -2.

Ответ: $a \neq \pm 2$.

в) многочленом третьей степени

Чтобы многочлен был многочленом третьей степени, коэффициент при $x^4$ должен быть равен нулю, а коэффициент при $x^3$ должен быть отличен от нуля.

1. Приравняем коэффициент при $x^4$ к нулю:

$a^2 - 4 = 0$

$a^2 = 4$

$a = 2$ или $a = -2$

2. Проверим, что коэффициент при $x^3$ не равен нулю. Коэффициент при $x^3$ равен -2. Так как $-2 \neq 0$, это условие выполняется при любом значении параметра $a$.

Следовательно, многочлен будет иметь третью степень, если $a=2$ или $a=-2$.

Ответ: $a = 2, a = -2$.

г) принимать одинаковые значения в точках $x = 1$ и $x = -1$

Условие задачи означает, что значение многочлена $P(x)$ в точке $x = 1$ равно значению в точке $x = -1$, то есть $P(1) = P(-1)$.

Найдём значение многочлена в точке $x = 1$:

$P(1) = (a^2 - 4)(1)^4 - 2(1)^3 + (2a - 1)(1) - 4 = a^2 - 4 - 2 + 2a - 1 - 4 = a^2 + 2a - 11$.

Найдём значение многочлена в точке $x = -1$:

$P(-1) = (a^2 - 4)(-1)^4 - 2(-1)^3 + (2a - 1)(-1) - 4 = (a^2 - 4)(1) - 2(-1) - (2a - 1) - 4 = a^2 - 4 + 2 - 2a + 1 - 4 = a^2 - 2a - 5$.

Приравняем полученные выражения:

$a^2 + 2a - 11 = a^2 - 2a - 5$

Сократим $a^2$ в обеих частях уравнения:

$2a - 11 = -2a - 5$

Решим полученное линейное уравнение:

$2a + 2a = 11 - 5$

$4a = 6$

$a = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Ответ: $a = \frac{3}{2}$.