Номер 1.13, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.13, страница 12.

1.13. Определите степень, старший коэффициент и свободный член многочлена p(x):

a) $p(x) = (3x^2 - x + 1)^{17} + (x^3 + 5x + 1)^{11}$;

б) $p(x) = (x^6 - 2x + 64)^3 - (x^9 + x^8 - 512)^2$;

в) $p(x) = (81x^4 - 36x^2 + 4)^5 - (9x^2 - 2)^{10} + (x - 1)^{13}$;

г) $p(x) = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)(x^4 - x^2 + 1)(x^8 - x^4 - 1) + (x - 1)^{16}$.

а) $p(x) = (3x^2 - x + 1)^{17} + (x^3 + 5x + 1)^{11}$

Для определения степени многочлена, найдем степени каждого слагаемого и выберем наибольшую.

Степень первого слагаемого $(3x^2 - x + 1)^{17}$ равна степени его основы (2), умноженной на показатель степени (17): $2 \cdot 17 = 34$.

Степень второго слагаемого $(x^3 + 5x + 1)^{11}$ равна степени его основы (3), умноженной на показатель степени (11): $3 \cdot 11 = 33$.

Наибольшая степень из двух слагаемых – 34. Следовательно, степень многочлена $p(x)$ равна 34.

Старший коэффициент – это коэффициент при члене с наивысшей степенью. Этот член происходит из первого слагаемого: $(3x^2)^{17} = 3^{17} \cdot (x^2)^{17} = 3^{17}x^{34}$. Старший коэффициент равен $3^{17}$.

Свободный член многочлена – это значение многочлена при $x=0$, то есть $p(0)$. $p(0) = (3 \cdot 0^2 - 0 + 1)^{17} + (0^3 + 5 \cdot 0 + 1)^{11} = 1^{17} + 1^{11} = 1 + 1 = 2$.

Ответ: степень многочлена 34, старший коэффициент $3^{17}$, свободный член 2.

б) $p(x) = (x^6 - 2x + 64)^3 - (x^9 + x^8 - 512)^2$

Найдем степени каждого члена.

Степень первого члена $(x^6 - 2x + 64)^3$ равна $6 \cdot 3 = 18$.

Степень второго члена $(x^9 + x^8 - 512)^2$ равна $9 \cdot 2 = 18$.

Поскольку степени обоих членов равны, необходимо проверить, не сокращаются ли старшие члены. Старший член первого выражения: $(x^6)^3 = x^{18}$. Старший член второго выражения: $(x^9)^2 = x^{18}$. При вычитании они взаимно уничтожаются: $x^{18} - x^{18} = 0$.

Значит, степень многочлена $p(x)$ меньше 18. Найдем следующие по старшинству члены, используя формулу бинома Ньютона $(a+b)^n = a^n + na^{n-1}b + \dots$.

Для $(x^6 - 2x + 64)^3$: $a=x^6, b=-2x+64$. Первые два члена разложения: $(x^6)^3 + 3(x^6)^2(-2x+64) + \dots = x^{18} - 6x^{13} + 192x^{12} + \dots$

Для $(x^9 + x^8 - 512)^2$: $a=x^9, b=x^8-512$. Первые два члена разложения: $(x^9)^2 + 2(x^9)(x^8-512) + \dots = x^{18} + 2x^{17} - 1024x^9 + \dots$

Теперь найдем разность: $p(x) = (x^{18} - 6x^{13} + \dots) - (x^{18} + 2x^{17} - \dots) = x^{18} - 6x^{13} - x^{18} - 2x^{17} + \dots = -2x^{17} - 6x^{13} + \dots$

Старший член многочлена $p(x)$ равен $-2x^{17}$. Таким образом, степень многочлена равна 17, а старший коэффициент равен -2.

Свободный член: $p(0) = (0^6 - 2 \cdot 0 + 64)^3 - (0^9 + 0^8 - 512)^2 = 64^3 - (-512)^2$. $64 = 2^6$, $512 = 2^9$. $p(0) = (2^6)^3 - (-(2^9))^2 = 2^{18} - (2^9)^2 = 2^{18} - 2^{18} = 0$.

Ответ: степень многочлена 17, старший коэффициент -2, свободный член 0.

в) $p(x) = (81x^4 - 36x^2 + 4)^5 - (9x^2 - 2)^{10} + (x - 1)^{13}$

Заметим, что выражение в первой скобке является полным квадратом: $81x^4 - 36x^2 + 4 = (9x^2)^2 - 2 \cdot (9x^2) \cdot 2 + 2^2 = (9x^2 - 2)^2$.

Подставим это в исходное выражение: $p(x) = ((9x^2 - 2)^2)^5 - (9x^2 - 2)^{10} + (x - 1)^{13} = (9x^2 - 2)^{10} - (9x^2 - 2)^{10} + (x - 1)^{13}$.

Первые два члена взаимно уничтожаются. Таким образом, $p(x) = (x - 1)^{13}$.

Из этого упрощенного вида сразу видны все характеристики многочлена. Степень многочлена равна 13. Старший член равен $x^{13}$, поэтому старший коэффициент равен 1. Свободный член равен $p(0) = (0 - 1)^{13} = (-1)^{13} = -1$.

Ответ: степень многочлена 13, старший коэффициент 1, свободный член -1.

г) $p(x) = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)(x^4 - x^2 + 1)(x^8 - x^4 - 1) + (x - 1)^{16}$

Упростим произведение первых четырех сомножителей.

Произведение первых двух скобок по формуле разности квадратов: $(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1) = ((x^2+1)-x)((x^2+1)+x) = (x^2+1)^2 - x^2 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = x^4 + x^2 + 1$.

Теперь умножим результат на третью скобку: $(x^4 + x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1) = ((x^4+1)+x^2)((x^4+1)-x^2) = (x^4+1)^2 - (x^2)^2 = x^8 + 2x^4 + 1 - x^4 = x^8 + x^4 + 1$.

Таким образом, произведение первых трех скобок равно $x^8 + x^4 + 1$. Теперь $p(x)$ имеет вид: $p(x) = (x^8 + x^4 + 1)(x^8 - x^4 - 1) + (x - 1)^{16}$.

Раскроем оставшееся произведение: $(x^8 + x^4 + 1)(x^8 - x^4 - 1) = x^{16} - x^{12} - x^8 + x^{12} - x^8 - x^4 + x^8 - x^4 - 1 = x^{16} - x^8 - 2x^4 - 1$.

Итак, $p(x) = (x^{16} - x^8 - 2x^4 - 1) + (x - 1)^{16}$.

Степень первого слагаемого равна 16, его старший член $x^{16}$. Степень второго слагаемого $(x - 1)^{16}$ также равна 16, его старший член $x^{16}$. Старший член многочлена $p(x)$ является суммой старших членов слагаемых: $x^{16} + x^{16} = 2x^{16}$. Следовательно, степень многочлена равна 16, а старший коэффициент равен 2.

Свободный член $p(0)$: $p(0) = (0^2 - 0 + 1)(0^2 + 0 + 1)(0^4 - 0^2 + 1)(0^8 - 0^4 - 1) + (0 - 1)^{16} = (1)(1)(1)(-1) + (-1)^{16} = -1 + 1 = 0$.

Ответ: степень многочлена 16, старший коэффициент 2, свободный член 0.