Номер 1.18, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.18, страница 13.

1.18. Найдите все значения параметров $a$ и $b$, при которых многочлены $p(x)$ и $q(x)$ тождественно равны:

a) $p(x) = 2ax - (a + b)$, $q(x) = 4x + (3a - b - 8)$;

б) $p(x) = 2x^2 + x - (a + b)x + 2b - a$, $q(x) = -ax + 2(x^2 - b) + (1 - b)(x^2 + 2x).$

а)

Два многочлена тождественно равны, если их коэффициенты при одинаковых степенях переменной $x$ равны. Запишем многочлены $p(x)$ и $q(x)$ в стандартном виде и приравняем их коэффициенты.

Исходные многочлены:
$p(x) = 2ax - (a + b)$
$q(x) = 4x + (3a - b - 8)$

Оба многочлена уже представлены в стандартном виде $kx + m$.

Приравняем коэффициенты при $x$:

$2a = 4$

Приравняем свободные члены (коэффициенты при $x^0$):

$-(a + b) = 3a - b - 8$

Получим систему линейных уравнений относительно $a$ и $b$:

$$ \begin{cases} 2a = 4 \\ -(a + b) = 3a - b - 8 \end{cases} $$

Из первого уравнения находим значение $a$:

$a = \frac{4}{2} = 2$

Подставим найденное значение $a = 2$ во второе уравнение:

$-(2 + b) = 3(2) - b - 8$
$-2 - b = 6 - b - 8$
$-2 - b = -2 - b$

Последнее равенство является тождеством и верно при любом значении $b$. Это означает, что для тождественного равенства многочленов достаточно, чтобы $a=2$, а параметр $b$ может быть любым действительным числом.

Ответ: $a = 2$, $b$ — любое число.

б)

Для нахождения значений $a$ и $b$ сначала приведём оба многочлена к стандартному виду, то есть сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями $x$.

Исходные многочлены:
$p(x) = 2x^2 + x - (a + b)x + 2b - a$
$q(x) = -ax + 2(x^2 - b) + (1 - b)(x^2 + 2x)$

Упростим многочлен $p(x)$:

$p(x) = 2x^2 + (1 - (a + b))x + (2b - a)$
$p(x) = 2x^2 + (1 - a - b)x + (2b - a)$

Упростим многочлен $q(x)$:

$q(x) = -ax + 2x^2 - 2b + x^2 + 2x - bx^2 - 2bx$
$q(x) = (2x^2 + x^2 - bx^2) + (-ax + 2x - 2bx) - 2b$
$q(x) = (3 - b)x^2 + (2 - a - 2b)x - 2b$

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x$ у многочленов $p(x)$ и $q(x)$.

$$ p(x) = 2x^2 + (1 - a - b)x + (2b - a) $$ $$ q(x) = (3 - b)x^2 + (2 - a - 2b)x - 2b $$

Составим систему уравнений, приравнивая соответствующие коэффициенты:

$$ \begin{cases} 2 = 3 - b & \text{(коэффициенты при } x^2\text{)} \\ 1 - a - b = 2 - a - 2b & \text{(коэффициенты при } x\text{)} \\ 2b - a = -2b & \text{(свободные члены)} \end{cases} $$

Решим эту систему. Из первого уравнения находим $b$:

$2 = 3 - b \implies b = 3 - 2 \implies b = 1$

Подставим $b=1$ во второе уравнение, чтобы проверить его:

$1 - a - 1 = 2 - a - 2(1)$
$-a = 2 - a - 2$
$-a = -a$

Второе уравнение является тождеством, если $b=1$.

Подставим $b=1$ в третье уравнение, чтобы найти $a$:

$2(1) - a = -2(1)$
$2 - a = -2$
$a = 4$

Таким образом, многочлены тождественно равны при $a=4$ и $b=1$.

Ответ: $a = 4, b = 1$.