Номер 1.16, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.16, страница 12.

1.16. Для многочлена $p(x)$ найдите степень, свободный член, старший коэффициент, сумму всех коэффициентов, сумму всех коэффициентов при чётных степенях переменной, сумму всех коэффициентов при нечётных степенях переменной:

a) $p(x) = (x + 1)^{17} - (x - 1)^{17};$

б) $p(x) = (x^2 + x - 2)^{35}(x^2 - 3x - 4)^{15} - (x - 1)^2(x^3 + x + 2)^{65}.$

а) Для многочлена $p(x) = (x + 1)^{17} - (x - 1)^{17}$

1. Степень многочлена.
Разложим оба слагаемых по формуле бинома Ньютона: $(x + 1)^{17} = x^{17} + C_{17}^1 x^{16} + C_{17}^2 x^{15} + \dots + 1$ $(x - 1)^{17} = x^{17} - C_{17}^1 x^{16} + C_{17}^2 x^{15} - \dots - 1$ Вычтем второе из первого: $p(x) = (x^{17} + 17x^{16} + \dots) - (x^{17} - 17x^{16} + \dots)$ Старшие члены с $x^{17}$ взаимно уничтожаются: $x^{17} - x^{17} = 0$. Следующий по старшинству член будет с $x^{16}$: $17x^{16} - (-17x^{16}) = 34x^{16}$. Так как коэффициент при $x^{16}$ не равен нулю, то степень многочлена равна 16.

2. Старший коэффициент.
Как мы нашли в предыдущем пункте, член с наивысшей степенью — это $34x^{16}$. Соответственно, старший коэффициент равен 34.

3. Свободный член.
Свободный член многочлена равен его значению при $x = 0$, то есть $p(0)$. $p(0) = (0 + 1)^{17} - (0 - 1)^{17} = 1^{17} - (-1)^{17} = 1 - (-1) = 2$.

4. Сумма всех коэффициентов.
Сумма всех коэффициентов многочлена равна его значению при $x = 1$, то есть $p(1)$. $p(1) = (1 + 1)^{17} - (1 - 1)^{17} = 2^{17} - 0^{17} = 2^{17} = 131072$.

5. Сумма коэффициентов при чётных степенях.
Сумма коэффициентов при четных степенях $S_{even}$ вычисляется по формуле $S_{even} = \frac{p(1) + p(-1)}{2}$. Найдем $p(-1)$: $p(-1) = (-1 + 1)^{17} - (-1 - 1)^{17} = 0^{17} - (-2)^{17} = 0 - (-2^{17}) = 2^{17}$. $S_{even} = \frac{2^{17} + 2^{17}}{2} = \frac{2 \cdot 2^{17}}{2} = 2^{17} = 131072$.

6. Сумма коэффициентов при нечётных степенях.
Сумма коэффициентов при нечетных степенях $S_{odd}$ вычисляется по формуле $S_{odd} = \frac{p(1) - p(-1)}{2}$. $S_{odd} = \frac{2^{17} - 2^{17}}{2} = \frac{0}{2} = 0$.

Ответ: степень - 16, старший коэффициент - 34, свободный член - 2, сумма всех коэффициентов - $2^{17}$ (или 131072), сумма коэффициентов при четных степенях - $2^{17}$ (или 131072), сумма коэффициентов при нечетных степенях - 0.

---

б) Для многочлена $p(x) = (x^2 + x - 2)^{35}(x^2 - 3x - 4)^{15} - (x - 1)^2(x^3 + x + 2)^{65}$

Обозначим $p_1(x) = (x^2 + x - 2)^{35}(x^2 - 3x - 4)^{15}$ и $p_2(x) = (x - 1)^2(x^3 + x + 2)^{65}$. Тогда $p(x) = p_1(x) - p_2(x)$.

1. Степень многочлена.
Степень $p_1(x)$ равна степени $(x^2)^{35} \cdot (x^2)^{15} = x^{70} \cdot x^{30} = x^{100}$, то есть 100. Степень $p_2(x)$ равна степени $(x)^2 \cdot (x^3)^{65} = x^2 \cdot x^{195} = x^{197}$, то есть 197. Степень многочлена $p(x)$ равна максимальной из степеней $p_1(x)$ и $p_2(x)$, так как их старшие коэффициенты не сокращаются. Таким образом, степень равна 197.

2. Старший коэффициент.
Старший член $p_1(x)$ равен $(1 \cdot x^2)^{35} \cdot (1 \cdot x^2)^{15} = x^{100}$. Коэффициент равен 1. Старший член $p_2(x)$ равен $(1 \cdot x)^2 \cdot (1 \cdot x^3)^{65} = x^{197}$. Коэффициент равен 1. Старший член $p(x)$ определяется старшим членом $p_2(x)$, взятым с противоположным знаком: $-x^{197}$. Следовательно, старший коэффициент равен -1.

3. Свободный член.
Свободный член равен $p(0)$. $p(0) = (0^2 + 0 - 2)^{35}(0^2 - 3 \cdot 0 - 4)^{15} - (0 - 1)^2(0^3 + 0 + 2)^{65}$ $p(0) = (-2)^{35}(-4)^{15} - (-1)^2(2)^{65}$ $p(0) = (-2^{35})(-2^2)^{15} - (1)(2^{65})$ $p(0) = (-2^{35})(-2^{30}) - 2^{65}$ $p(0) = 2^{35+30} - 2^{65} = 2^{65} - 2^{65} = 0$.

4. Сумма всех коэффициентов.
Сумма всех коэффициентов равна $p(1)$. $p(1) = (1^2 + 1 - 2)^{35}(1^2 - 3 \cdot 1 - 4)^{15} - (1 - 1)^2(1^3 + 1 + 2)^{65}$ $p(1) = (0)^{35}(-6)^{15} - (0)^2(4)^{65} = 0 - 0 = 0$.

5. Сумма коэффициентов при чётных степенях.
$S_{even} = \frac{p(1) + p(-1)}{2}$. Найдем $p(-1)$: $p(-1) = ((-1)^2 + (-1) - 2)^{35}((-1)^2 - 3(-1) - 4)^{15} - ((-1) - 1)^2((-1)^3 + (-1) + 2)^{65}$ $p(-1) = (1 - 1 - 2)^{35}(1 + 3 - 4)^{15} - (-2)^2(-1 - 1 + 2)^{65}$ $p(-1) = (-2)^{35}(0)^{15} - (4)(0)^{65} = 0 - 0 = 0$. $S_{even} = \frac{0 + 0}{2} = 0$.

6. Сумма коэффициентов при нечётных степенях.
$S_{odd} = \frac{p(1) - p(-1)}{2}$. $S_{odd} = \frac{0 - 0}{2} = 0$.

Ответ: степень - 197, старший коэффициент - -1, свободный член - 0, сумма всех коэффициентов - 0, сумма коэффициентов при четных степенях - 0, сумма коэффициентов при нечетных степенях - 0.