Номер 1.14, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.14, страница 12.

1.14. Заполните таблицу, считая, что $f(x)$ и $g(x)$ многочлены:

Степень $f(x)$	Степень $g(x)$	Степень $f(x) + g(x)$	Степень $f(x) \cdot g(x)$	Степень $f^3(x)$
5	3
	7			21
	4		7
		2		9
		4	14

Для решения этой задачи воспользуемся основными свойствами степени многочленов. Пусть $n$ – степень многочлена $f(x)$, а $m$ – степень многочлена $g(x)$.

• Степень суммы $f(x) + g(x)$: Если степени многочленов различны ($n \neq m$), то степень их суммы равна большей из степеней: $deg(f(x) + g(x)) = \max(n, m)$. Если степени равны ($n = m$), то степень суммы не превосходит $n$: $deg(f(x) + g(x)) \leq n$. Она может быть меньше $n$, если старшие коэффициенты многочленов взаимно уничтожаются.
• Степень произведения $f(x) \cdot g(x)$: Степень произведения многочленов всегда равна сумме их степеней: $deg(f(x) \cdot g(x)) = n + m$.
• Степень возведения в степень $f^k(x)$: Степень многочлена, возведенного в степень $k$, равна произведению его исходной степени на $k$: $deg(f^k(x)) = k \cdot n$.

Теперь заполним пропуски в таблице для каждой строки.

---

Решение для первой строки

Дано: степень $f(x)$ равна $n=5$, степень $g(x)$ равна $m=3$.

1. Степень $f(x) + g(x)$: Так как $n \neq m$ ($5 \neq 3$), степень суммы равна максимальной из степеней: $\max(5, 3) = 5$.

2. Степень $f(x) \cdot g(x)$: Степень произведения равна сумме степеней: $5 + 3 = 8$.

3. Степень $f^3(x)$: Степень $f(x)$, возведенного в куб, равна $3 \cdot deg(f(x)) = 3 \cdot 5 = 15$.

Ответ: Пропуски в первой строке: 5, 8, 15.

---

Решение для второй строки

Дано: степень $g(x)$ равна $m=7$, степень $f^3(x)$ равна $21$.

1. Степень $f(x)$: Известно, что $deg(f^3(x)) = 3 \cdot deg(f(x))$. Следовательно, $21 = 3 \cdot n$, откуда находим степень $f(x)$: $n = 21 / 3 = 7$.

2. Степень $f(x) + g(x)$: Теперь мы знаем, что $n=7$ и $m=7$. Так как степени равны, степень суммы $deg(f(x) + g(x)) \leq 7$. В общем случае, если не предполагать сокращения старших членов, степень суммы равна 7.

3. Степень $f(x) \cdot g(x)$: Степень произведения равна сумме степеней: $n + m = 7 + 7 = 14$.

Ответ: Пропуски во второй строке: 7, 7, 14.

---

Решение для третьей строки

Дано: степень $g(x)$ равна $m=4$, степень $f(x) \cdot g(x)$ равна $7$.

1. Степень $f(x)$: Известно, что $deg(f(x) \cdot g(x)) = deg(f(x)) + deg(g(x))$. Следовательно, $7 = n + 4$, откуда находим степень $f(x)$: $n = 7 - 4 = 3$.

2. Степень $f(x) + g(x)$: Мы имеем $n=3$ и $m=4$. Так как $n \neq m$, степень суммы равна максимальной из них: $\max(3, 4) = 4$.

3. Степень $f^3(x)$: Степень $f(x)$, возведенного в куб, равна $3 \cdot n = 3 \cdot 3 = 9$.

Ответ: Пропуски в третьей строке: 3, 4, 9.

---

Решение для четвертой строки

Дано: степень $f(x) + g(x)$ равна $2$, степень $f^3(x)$ равна $9$.

1. Степень $f(x)$: Известно, что $deg(f^3(x)) = 3 \cdot deg(f(x))$. Следовательно, $9 = 3 \cdot n$, откуда находим степень $f(x)$: $n = 9 / 3 = 3$.

2. Степень $g(x)$: Мы знаем, что $n=3$ и $deg(f(x) + g(x))=2$. Если бы $n \neq m$, то степень суммы была бы $\max(n, m) = \max(3, m) = 2$, что невозможно, так как $\max(3, m) \geq 3$. Значит, степени многочленов должны быть равны, то есть $m=n=3$, а степень суммы стала меньше из-за сокращения старших членов.

3. Степень $f(x) \cdot g(x)$: Степень произведения равна сумме степеней: $n + m = 3 + 3 = 6$.

Ответ: Пропуски в четвертой строке: 3, 3, 6.

---

Решение для пятой строки

Дано: степень $f(x) + g(x)$ равна $4$, степень $f(x) \cdot g(x)$ равна $14$.

1. Степени $f(x)$ и $g(x)$: Обозначим $n = deg(f(x))$ и $m = deg(g(x))$. Мы имеем систему уравнений:
$n + m = 14$
$deg(f(x) + g(x)) = 4$
Если предположить, что $n \neq m$, то $deg(f(x) + g(x)) = \max(n, m) = 4$. Пусть $n=4$. Тогда из первого уравнения $4 + m = 14$, что дает $m=10$. Но тогда $\max(4, 10) = 10$, а не 4. Противоречие. Следовательно, единственный возможный случай – это $n = m$. Тогда $n + n = 14$, что дает $n = m = 7$. В этом случае $deg(f(x) + g(x)) \leq 7$. Значение 4 возможно, если старшие члены до степени 5 включительно сократились. Таким образом, $deg(f(x)) = 7$ и $deg(g(x)) = 7$.

2. Степень $f^3(x)$: Зная, что $deg(f(x))=7$, находим степень куба: $3 \cdot n = 3 \cdot 7 = 21$.

Ответ: Пропуски в пятой строке: 7, 7, 21.

---

Итоговая заполненная таблица:

Степень $f(x)$	Степень $g(x)$	Степень $f(x) + g(x)$	Степень $f(x) \cdot g(x)$	Степень $f^3(x)$
5	3	5	8	15
7	7	7	14	21
3	4	4	7	9
3	3	2	6	9
7	7	4	14	21