Номер 1.11, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.11, страница 11.

1.11. В многочлене $p(x)$ выполнили замену переменной $x = y + a$ и получили многочлен $p_1(y) = p(y + a)$. При каких значениях параметра $a$ многочлен $p_1(y)$ не содержит члена степени $n$, если:

a) $p(x) = 2x^2 + 3x - 6$, $n = 1$;

б) $p(x) = 2x^3 + 3x^2 - x + 1$, $n = 2$;

в) $p(x) = (7 - 4x)(3x - 5)$, $n = 1$;

г) $p(x) = (2x^2 + 3x)(x - 1)$, $n = 2?

Чтобы многочлен $p_1(y) = p(y+a)$ не содержал члена степени $n$, необходимо и достаточно, чтобы коэффициент при $y^n$ в разложении этого многочлена по степеням $y$ был равен нулю. Коэффициент при $y^n$ в разложении функции $p(y+a)$ по степеням $y$ (разложение Тейлора в точке $a$) определяется формулой $\frac{p^{(n)}(a)}{n!}$, где $p^{(n)}(a)$ — это $n$-я производная многочлена $p(x)$, вычисленная в точке $x=a$.

Следовательно, для того чтобы член степени $n$ отсутствовал, должно выполняться условие $\frac{p^{(n)}(a)}{n!} = 0$, что эквивалентно $p^{(n)}(a) = 0$.

а) Дан многочлен $p(x) = 2x^2 + 3x - 6$ и $n = 1$.
Нам нужно, чтобы в многочлене $p_1(y)$ отсутствовал член первой степени. Для этого необходимо решить уравнение $p'(a) = 0$.
Найдем первую производную многочлена $p(x)$:
$p'(x) = (2x^2 + 3x - 6)' = 4x + 3$.
Теперь подставим $a$ и приравняем к нулю:
$p'(a) = 4a + 3 = 0$
$4a = -3$
$a = -\frac{3}{4}$
Ответ: $a = -\frac{3}{4}$.

б) Дан многочлен $p(x) = 2x^3 + 3x^2 - x + 1$ и $n = 2$.
Нам нужно, чтобы в многочлене $p_1(y)$ отсутствовал член второй степени. Для этого необходимо решить уравнение $p''(a) = 0$.
Найдем первую производную:
$p'(x) = (2x^3 + 3x^2 - x + 1)' = 6x^2 + 6x - 1$.
Найдем вторую производную:
$p''(x) = (6x^2 + 6x - 1)' = 12x + 6$.
Подставим $a$ и приравняем к нулю:
$p''(a) = 12a + 6 = 0$
$12a = -6$
$a = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$
Ответ: $a = -\frac{1}{2}$.

в) Дан многочлен $p(x) = (7 - 4x)(3x - 5)$ и $n = 1$.
Условие отсутствия члена первой степени — $p'(a) = 0$.
Сначала представим многочлен в стандартном виде, раскрыв скобки:
$p(x) = 7 \cdot 3x - 7 \cdot 5 - 4x \cdot 3x + 4x \cdot 5 = 21x - 35 - 12x^2 + 20x = -12x^2 + 41x - 35$.
Найдем первую производную:
$p'(x) = (-12x^2 + 41x - 35)' = -24x + 41$.
Подставим $a$ и приравняем к нулю:
$p'(a) = -24a + 41 = 0$
$24a = 41$
$a = \frac{41}{24}$
Ответ: $a = \frac{41}{24}$.

г) Дан многочлен $p(x) = (2x^2 + 3x)(x - 1)$ и $n = 2$.
Условие отсутствия члена второй степени — $p''(a) = 0$.
Сначала представим многочлен в стандартном виде:
$p(x) = 2x^2 \cdot x - 2x^2 \cdot 1 + 3x \cdot x - 3x \cdot 1 = 2x^3 - 2x^2 + 3x^2 - 3x = 2x^3 + x^2 - 3x$.
Найдем первую производную:
$p'(x) = (2x^3 + x^2 - 3x)' = 6x^2 + 2x - 3$.
Найдем вторую производную:
$p''(x) = (6x^2 + 2x - 3)' = 12x + 2$.
Подставим $a$ и приравняем к нулю:
$p''(a) = 12a + 2 = 0$
$12a = -2$
$a = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6}$
Ответ: $a = -\frac{1}{6}$.