Номер 1.4, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.4, страница 10.

Запишите многочлен в стандартном виде:

1.4. a) $(x + 1)(x - 1)(x - 2);$

б) $(x + 1)^2 (x - 2) - (x + 1)(x - 2)^2;$

в) $(2x + 1)(2x - 1)^2;$

г) $(2x + 1)(2x - 1)^2 + (1 - 2x)^3.$

а) $(x + 1)(x - 1)(x - 2)$

Для решения сначала перемножим первые две скобки, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.

Теперь выражение принимает вид:

$(x^2 - 1)(x - 2)$

Далее раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$x^2 \cdot x + x^2 \cdot (-2) - 1 \cdot x - 1 \cdot (-2) = x^3 - 2x^2 - x + 2$.

Многочлен записан в стандартном виде, так как все его члены являются одночленами стандартного вида и расположены в порядке убывания степеней переменной.

Ответ: $x^3 - 2x^2 - x + 2$.

б) $(x + 1)^2(x - 2) - (x + 1)(x - 2)^2$

Для упрощения вынесем за скобки общий множитель $(x+1)(x-2)$:

$(x + 1)(x - 2) \cdot [(x + 1) - (x - 2)]$

Упростим выражение в квадратных скобках, раскрыв внутренние скобки:

$x + 1 - x + 2 = 3$.

Теперь исходное выражение равно:

$3(x + 1)(x - 2)$

Раскроем скобки $(x+1)(x-2)$:

$x^2 - 2x + x - 2 = x^2 - x - 2$.

Наконец, умножим полученный многочлен на 3:

$3(x^2 - x - 2) = 3x^2 - 3x - 6$.

Ответ: $3x^2 - 3x - 6$.

в) $(2x + 1)(2x - 1)^2$

Перепишем выражение, чтобы было удобнее применить формулы сокращенного умножения:

$(2x + 1)(2x - 1)(2x - 1)$

Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ к первым двум множителям:

$(2x + 1)(2x - 1) = (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1$.

Теперь выражение имеет вид:

$(4x^2 - 1)(2x - 1)$

Раскроем скобки:

$4x^2(2x - 1) - 1(2x - 1) = 8x^3 - 4x^2 - 2x + 1$.

Ответ: $8x^3 - 4x^2 - 2x + 1$.

г) $(2x + 1)(2x - 1)^2 + (1 - 2x)^3$

Заметим, что $(1 - 2x) = -(2x - 1)$. Используем это свойство для второго слагаемого:

$(1 - 2x)^3 = (-(2x - 1))^3 = (-1)^3(2x - 1)^3 = -(2x - 1)^3$.

Подставим это в исходное выражение:

$(2x + 1)(2x - 1)^2 - (2x - 1)^3$

Вынесем за скобки общий множитель $(2x - 1)^2$:

$(2x - 1)^2 \cdot [(2x + 1) - (2x - 1)]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$2x + 1 - 2x + 1 = 2$.

В результате получаем:

$2(2x - 1)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$2((2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2) = 2(4x^2 - 4x + 1)$.

Окончательно умножаем на 2:

$8x^2 - 8x + 2$.

Ответ: $8x^2 - 8x + 2$.