Номер 31, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 31, страница 9.

П.31. Докажите, что функция $y = \frac{x^2 - 3}{x - 1}$ возрастает на любом промежутке области определения.

П.31.

Чтобы доказать, что функция возрастает на любом промежутке своей области определения, нужно найти её производную и показать, что она положительна на этих промежутках.

1. Найдём область определения функции.

Заданная функция $y = \frac{x^2 - 3}{x - 1}$ является дробно-рациональной. Её область определения — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

$x - 1 \neq 0$

$x \neq 1$

Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Промежутки области определения, о которых говорится в условии, это $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае $u(x) = x^2 - 3$ и $v(x) = x - 1$. Их производные равны $u'(x) = 2x$ и $v'(x) = 1$.

$y' = \left(\frac{x^2 - 3}{x - 1}\right)' = \frac{(x^2 - 3)'(x - 1) - (x^2 - 3)(x - 1)'}{(x - 1)^2}$

$y' = \frac{2x(x - 1) - (x^2 - 3) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2 + 3}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x + 3}{(x - 1)^2}$

3. Исследуем знак производной.

Функция возрастает на тех промежутках, где её производная $y' > 0$.

Рассмотрим выражение для производной: $y' = \frac{x^2 - 2x + 3}{(x - 1)^2}$.

Знаменатель $(x - 1)^2$ является квадратом выражения. Он положителен для любого $x$ из области определения (т.е. при $x \neq 1$).

Теперь рассмотрим числитель: $x^2 - 2x + 3$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен $1$, что больше нуля). Чтобы определить знак этого выражения, найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратный трехчлен не имеет действительных корней. В сочетании с тем, что ветви параболы направлены вверх, это означает, что выражение $x^2 - 2x + 3$ всегда принимает положительные значения.

Это также можно показать, выделив полный квадрат:

$x^2 - 2x + 3 = (x^2 - 2x + 1) + 2 = (x - 1)^2 + 2$.

Так как $(x-1)^2 \ge 0$ для всех $x$, то $(x - 1)^2 + 2 \ge 2$, следовательно, числитель всегда строго положителен.

Поскольку и числитель, и знаменатель производной положительны для всех $x$ из области определения, то и сама производная $y'$ всегда положительна.

Так как $y' > 0$ на промежутках $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$, функция $y = \frac{x^2 - 3}{x - 1}$ возрастает на каждом из этих промежутков, то есть на любом промежутке области определения.

Ответ: Производная функции $y' = \frac{x^2 - 2x + 3}{(x - 1)^2}$ положительна на всей области определения $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$, следовательно, функция возрастает на любом промежутке области определения. Что и требовалось доказать.