Номер 26, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 26, страница 8.

П.26. В какой точке графика функции $y = x^3 + 5x^2 + 6x + 8$ касательная образует с осью $x$ угол, равный $135^\circ$?

Геометрический смысл производной функции в точке $x_0$ заключается в том, что ее значение равно угловому коэффициенту $k$ касательной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент касательной, в свою очередь, равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси Ox.

Таким образом, мы можем записать соотношение: $k = y'(x_0) = \tan(\alpha)$.

По условию задачи, угол наклона касательной $\alpha = 135^\circ$. Найдем угловой коэффициент $k$:

$k = \tan(135^\circ) = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1$.

Теперь найдем производную данной функции $y = x^3 + 5x^2 + 6x + 8$:

$y' = (x^3 + 5x^2 + 6x + 8)' = 3x^2 + 10x + 6$.

Чтобы найти абсциссы $x$ искомых точек, приравняем производную к найденному значению углового коэффициента $k = -1$:

$y'(x) = k$

$3x^2 + 10x + 6 = -1$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3x^2 + 10x + 7 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 100 - 84 = 16$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 \pm 4}{6}$.

$x_1 = \frac{-10 + 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$.

$x_2 = \frac{-10 - 4}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$.

Мы нашли абсциссы двух точек, в которых касательная к графику функции имеет требуемый наклон. Теперь найдем соответствующие ординаты (значения $y$), подставив эти значения $x$ в исходное уравнение функции $y = x^3 + 5x^2 + 6x + 8$.

Для $x_1 = -1$:

$y_1 = (-1)^3 + 5(-1)^2 + 6(-1) + 8 = -1 + 5(1) - 6 + 8 = -1 + 5 - 6 + 8 = 6$.

Первая точка имеет координаты $(-1, 6)$.

Для $x_2 = -\frac{7}{3}$:

$y_2 = (-\frac{7}{3})^3 + 5(-\frac{7}{3})^2 + 6(-\frac{7}{3}) + 8 = -\frac{343}{27} + 5 \cdot \frac{49}{9} - \frac{42}{3} + 8 = -\frac{343}{27} + \frac{245}{9} - 14 + 8$.

$y_2 = -\frac{343}{27} + \frac{245}{9} - 6$.

Приведем дроби к общему знаменателю 27:

$y_2 = -\frac{343}{27} + \frac{245 \cdot 3}{27} - \frac{6 \cdot 27}{27} = \frac{-343 + 735 - 162}{27} = \frac{392 - 162}{27} = \frac{230}{27}$.

Вторая точка имеет координаты $(-\frac{7}{3}, \frac{230}{27})$.

Ответ: Касательная образует угол $135^\circ$ с осью x в точках с координатами $(-1, 6)$ и $(-\frac{7}{3}, \frac{230}{27})$.