Номер 24, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 24, страница 8.

П.24. Докажите, что любая касательная к графику функции $y = \frac{3x + 2}{3x - 2} - 12$ образует тупой угол с осью абсцисс.

Угол, который образует касательная к графику функции с положительным направлением оси абсцисс (оси Ox), определяется тангенсом этого угла. Тангенс угла наклона касательной в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = \tan(\alpha) = y'(x_0)$.

Угол $\alpha$ является тупым, если он находится в пределах $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ (или $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$). Для таких углов их тангенс отрицателен: $\tan(\alpha) < 0$.

Следовательно, для доказательства утверждения задачи необходимо показать, что производная данной функции отрицательна для любого значения $x$ из ее области определения.

Рассмотрим функцию: $y = \frac{3x + 2}{3x - 2} - 12$

Найдем ее производную $y'$. Для нахождения производной дроби $\frac{3x + 2}{3x - 2}$ применим правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Производная от константы -12 равна нулю.

Обозначим $u(x) = 3x + 2$ и $v(x) = 3x - 2$. Тогда их производные равны $u'(x) = 3$ и $v'(x) = 3$.

Теперь вычислим производную функции $y$: $y' = \left(\frac{3x + 2}{3x - 2}\right)' - (12)' = \frac{(3x+2)'(3x-2) - (3x+2)(3x-2)'}{(3x-2)^2} - 0$

Подставим найденные производные $u'$ и $v'$: $y' = \frac{3(3x-2) - (3x+2) \cdot 3}{(3x-2)^2} = \frac{9x - 6 - (9x + 6)}{(3x-2)^2} = \frac{9x - 6 - 9x - 6}{(3x-2)^2} = \frac{-12}{(3x-2)^2}$

Проанализируем знак полученного выражения для производной $y' = \frac{-12}{(3x-2)^2}$.

1. Числитель дроби равен -12, что является отрицательным числом.

2. Знаменатель дроби, $(3x-2)^2$, представляет собой квадрат действительного числа. Он равен нулю при $x = \frac{2}{3}$, но эта точка не входит в область определения исходной функции. Для всех остальных значений $x$ (то есть для всех $x$ из области определения) знаменатель $(3x-2)^2$ строго положителен.

Таким образом, производная $y'$ является результатом деления отрицательного числа на положительное, а значит, она всегда отрицательна для любого $x$ из области определения функции. $y' = \frac{-12}{(3x-2)^2} < 0$

Поскольку производная $y' = \tan(\alpha)$ всегда отрицательна, тангенс угла наклона любой касательной к графику данной функции также всегда отрицателен. Это означает, что угол наклона $\alpha$ является тупым. Утверждение доказано.

Ответ: Производная функции $y' = \frac{-12}{(3x-2)^2}$ отрицательна для всех $x$ из области определения. Так как тангенс угла наклона касательной равен производной, он всегда отрицателен, что соответствует тупому углу наклона касательной к оси абсцисс.