Номер 25, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 25, страница 8.

П.25. Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции $y = x^3 + 4x^2 - 3x - 1$ образует тупой угол с положительным направлением оси x.

Условие, что касательная к графику функции образует тупой угол с положительным направлением оси $x$, означает, что угловой коэффициент $k$ этой касательной отрицателен. Тупой угол $\alpha$ находится в диапазоне $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, а тангенс такого угла всегда отрицателен.

Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой $x$ равен значению производной функции в этой точке: $k = y'(x)$. Таким образом, задача сводится к нахождению всех значений $x$, для которых выполняется неравенство $y'(x) < 0$.

Сначала найдем производную данной функции $y = x^3 + 4x^2 - 3x - 1$.
$y' = (x^3 + 4x^2 - 3x - 1)' = 3x^2 + 8x - 3$.

Теперь необходимо решить неравенство $y'(x) < 0$:
$3x^2 + 8x - 3 < 0$.

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $3x^2 + 8x - 3 = 0$.
Вычислим дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$.
Корни уравнения:$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3$.$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Графиком квадратичной функции $f(x) = 3x^2 + 8x - 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($3 > 0$). Следовательно, эта функция принимает отрицательные значения на интервале между ее корнями.

Таким образом, решением неравенства $3x^2 + 8x - 3 < 0$ является интервал $x \in (-3; \frac{1}{3})$. Это и есть искомые абсциссы точек.

Ответ: $x \in (-3; \frac{1}{3})$.