Номер 28, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 28, страница 8.

П.28. На графике функции $y = \frac{2x - 1}{2x + 1}$ найдите точки, касательные в которых параллельны прямой $y = 4x + 5$.

Для того чтобы найти на графике функции $y = \frac{2x - 1}{2x + 1}$ точки, в которых касательные параллельны прямой $y = 4x + 5$, необходимо приравнять производную данной функции к угловому коэффициенту указанной прямой.

Геометрический смысл производной заключается в том, что ее значение в точке касания $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент прямой $y = 4x + 5$ равен $4$. Условие параллельности двух прямых — равенство их угловых коэффициентов. Следовательно, нам нужно найти такие точки $x$, в которых производная функции $y'$ равна $4$.

1. Найдем производную функции $y(x) = \frac{2x - 1}{2x + 1}$.

Воспользуемся формулой производной частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 2x - 1$ и $v(x) = 2x + 1$. Тогда их производные равны $u'(x) = 2$ и $v'(x) = 2$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(2x - 1)'(2x + 1) - (2x - 1)(2x + 1)'}{(2x + 1)^2} = \frac{2(2x + 1) - (2x - 1) \cdot 2}{(2x + 1)^2}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$y' = \frac{4x + 2 - 4x + 2}{(2x + 1)^2} = \frac{4}{(2x + 1)^2}$

2. Приравняем производную к угловому коэффициенту прямой, равному 4, и решим полученное уравнение:

$\frac{4}{(2x + 1)^2} = 4$

Поделим обе части уравнения на 4 (при условии, что $(2x + 1)^2 \neq 0$):

$\frac{1}{(2x + 1)^2} = 1$

Это равносильно уравнению:

$(2x + 1)^2 = 1$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два варианта:

а) $2x + 1 = 1$

$2x = 0$

$x_1 = 0$

б) $2x + 1 = -1$

$2x = -2$

$x_2 = -1$

3. Найдем ординаты (координаты $y$) найденных точек, подставив значения $x_1$ и $x_2$ в исходное уравнение функции $y = \frac{2x - 1}{2x + 1}$.

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = \frac{2(0) - 1}{2(0) + 1} = \frac{-1}{1} = -1$

Таким образом, первая искомая точка имеет координаты $(0; -1)$.

Для $x_2 = -1$:

$y_2 = \frac{2(-1) - 1}{2(-1) + 1} = \frac{-2 - 1}{-2 + 1} = \frac{-3}{-1} = 3$

Таким образом, вторая искомая точка имеет координаты $(-1; 3)$.

Ответ: $(0; -1)$ и $(-1; 3)$.