Номер 1.1, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.1, страница 10.

1.1. По данному стандартному виду многочлена $f(x)$ определите его степень, выпишите набор всех его коэффициентов и найдите значение многочлена в данных точках:

а) $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + x - 10$ в точках $-2; -1; 0;$

б) $f(x) = -x^5 + 3x^4 - x^3 + x$ в точках $-1; 1; 2;$

а) Для многочлена $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + x - 10$ в точках -2; -1; 0;

1. Степень многочлена

Степенью многочлена называется наибольшая степень переменной в его стандартном виде. В многочлене $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + x - 10$ члены имеют степени 4, 2, 1 и 0. Наибольшая из них – 4.

Следовательно, степень многочлена равна 4.

2. Набор всех коэффициентов

Чтобы выписать все коэффициенты, необходимо учесть и те степени переменной, которые отсутствуют в записи (их коэффициенты равны нулю). Запишем многочлен в полном виде:

$f(x) = 3x^4 + 0x^3 - 2x^2 + 1x^1 - 10x^0$

Коэффициенты при степенях от старшей к младшей:

• коэффициент при $x^4$ равен 3;
• коэффициент при $x^3$ равен 0;
• коэффициент при $x^2$ равен -2;
• коэффициент при $x^1$ равен 1;
• свободный член (коэффициент при $x^0$) равен -10.

Набор всех коэффициентов: $\{3, 0, -2, 1, -10\}$.

3. Значение многочлена в данных точках

• При $x = -2$:
  $f(-2) = 3(-2)^4 - 2(-2)^2 + (-2) - 10 = 3 \cdot 16 - 2 \cdot 4 - 2 - 10 = 48 - 8 - 2 - 10 = 28$.
• При $x = -1$:
  $f(-1) = 3(-1)^4 - 2(-1)^2 + (-1) - 10 = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 - 1 - 10 = 3 - 2 - 1 - 10 = -10$.
• При $x = 0$:
  $f(0) = 3(0)^4 - 2(0)^2 + 0 - 10 = 0 - 0 + 0 - 10 = -10$.

Ответ: степень многочлена – 4; набор коэффициентов – $\{3, 0, -2, 1, -10\}$; значения в точках: $f(-2)=28$, $f(-1)=-10$, $f(0)=-10$.

---

б) Для многочлена $f(x) = -x^5 + 3x^4 - x^3 + x$ в точках -1; 1; 2.

1. Степень многочлена

В многочлене $f(x) = -x^5 + 3x^4 - x^3 + x$ наибольшая степень переменной равна 5.

Следовательно, степень многочлена равна 5.

2. Набор всех коэффициентов

Запишем многочлен в полном виде, добавив члены с нулевыми коэффициентами:

$f(x) = -1x^5 + 3x^4 - 1x^3 + 0x^2 + 1x^1 + 0x^0$

Коэффициенты при степенях от старшей к младшей:

• коэффициент при $x^5$ равен -1;
• коэффициент при $x^4$ равен 3;
• коэффициент при $x^3$ равен -1;
• коэффициент при $x^2$ равен 0;
• коэффициент при $x^1$ равен 1;
• свободный член (коэффициент при $x^0$) равен 0.

Набор всех коэффициентов: $\{-1, 3, -1, 0, 1, 0\}$.

3. Значение многочлена в данных точках

• При $x = -1$:
  $f(-1) = -(-1)^5 + 3(-1)^4 - (-1)^3 + (-1) = -(-1) + 3(1) - (-1) - 1 = 1 + 3 + 1 - 1 = 4$.
• При $x = 1$:
  $f(1) = -(1)^5 + 3(1)^4 - (1)^3 + 1 = -1 + 3 \cdot 1 - 1 + 1 = -1 + 3 - 1 + 1 = 2$.
• При $x = 2$:
  $f(2) = -(2)^5 + 3(2)^4 - (2)^3 + 2 = -32 + 3 \cdot 16 - 8 + 2 = -32 + 48 - 8 + 2 = 10$.

Ответ: степень многочлена – 5; набор коэффициентов – $\{-1, 3, -1, 0, 1, 0\}$; значения в точках: $f(-1)=4$, $f(1)=2$, $f(2)=10$.