Номер 1.8, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.8, страница 11.

1.8. Какие из следующих утверждений верны:

а) сумма многочленов степени $n$ есть многочлен степени не выше $n$;

б) разность многочленов степени $n$ есть многочлен степени $n$;

в) произведение многочленов степени $n$ есть многочлен степени не выше $n$;

г) произведение двух многочленов степени $n$ есть многочлен степени $2n$?

а) сумма многочленов степени n есть многочлен степени не выше n;

Пусть даны два многочлена $P(x)$ и $Q(x)$ степени $n$. Это означает, что их можно записать в виде:
$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0$, где старший коэффициент $a_n \neq 0$.
$Q(x) = b_n x^n + b_{n-1} x^{n-1} + \dots + b_0$, где старший коэффициент $b_n \neq 0$.

Их сумма $S(x) = P(x) + Q(x)$ будет равна:
$S(x) = (a_n + b_n)x^n + (a_{n-1} + b_{n-1})x^{n-1} + \dots + (a_0 + b_0)$.

Степень многочлена-суммы $S(x)$ определяется коэффициентом при старшей степени $x^n$, то есть выражением $(a_n + b_n)$.

Возможны два случая:
1. Если $a_n + b_n \neq 0$, то степень суммы $S(x)$ будет равна $n$.
2. Если $a_n + b_n = 0$ (это происходит, когда $a_n = -b_n$), то коэффициент при $x^n$ становится равным нулю, и этот член исчезает. В таком случае степень многочлена $S(x)$ будет меньше $n$ (или многочлен станет нулевым, степень которого не определена или считается равной $-\infty$).

Например, пусть $P(x) = x^2 + 3x$ и $Q(x) = -x^2 + 5$. Оба многочлена имеют степень 2. Их сумма $S(x) = (x^2 + 3x) + (-x^2 + 5) = 3x + 5$ имеет степень 1, что меньше 2.

Таким образом, степень суммы никогда не превысит $n$. Утверждение верно.
Ответ: утверждение верное.

б) разность многочленов степени n есть многочлен степени n;

Рассмотрим те же многочлены $P(x)$ и $Q(x)$ степени $n$. Их разность $D(x) = P(x) - Q(x)$ равна:
$D(x) = (a_n - b_n)x^n + (a_{n-1} - b_{n-1})x^{n-1} + \dots + (a_0 - b_0)$.

Коэффициент при старшей степени $x^n$ равен $(a_n - b_n)$.

Если $a_n \neq b_n$, то степень разности $D(x)$ будет равна $n$.
Однако, если $a_n = b_n$, то коэффициент при $x^n$ обращается в ноль, и степень разности становится меньше $n$.

Например, пусть $P(x) = 2x^3 + 4x$ и $Q(x) = 2x^3 - x^2$. Оба многочлена имеют степень 3. Их разность $D(x) = (2x^3 + 4x) - (2x^3 - x^2) = x^2 + 4x$ имеет степень 2.

Поскольку существуют случаи, когда степень разности меньше $n$, утверждение о том, что она всегда равна $n$, является ложным.
Ответ: утверждение неверное.

в) произведение многочленов степени n есть многочлен степени не выше n;

Рассмотрим произведение двух многочленов $P(x)$ и $Q(x)$ степени $n$ (с $n \ge 1$).
$P(x) = a_n x^n + \dots$ ($a_n \neq 0$)
$Q(x) = b_n x^n + \dots$ ($b_n \neq 0$)

При перемножении многочленов их степени складываются. Старший член произведения $M(x) = P(x) \cdot Q(x)$ получается путем перемножения старших членов исходных многочленов:
$(a_n x^n) \cdot (b_n x^n) = a_n b_n x^{n+n} = a_n b_n x^{2n}$.

Поскольку $a_n \neq 0$ и $b_n \neq 0$, их произведение $a_n b_n$ также не равно нулю (если коэффициенты принадлежат полю или области целостности). Таким образом, степень произведения равна $2n$.

Утверждение гласит, что степень произведения "не выше n", то есть $2n \le n$. Это неравенство верно только при $n \le 0$. Для любого натурального $n \ge 1$, имеем $2n > n$. Например, произведение двух многочленов первой степени ($n=1$), $(x+1)$ и $(x-1)$, дает многочлен $x^2-1$ второй степени ($2n=2$), что больше, чем 1.

Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: утверждение неверное.

г) произведение двух многочленов степени n есть многочлен степени 2n?

Как было показано в разборе предыдущего пункта, при умножении двух многочленов $P(x)$ и $Q(x)$ степени $n$, их старшие члены перемножаются:
$P(x) = a_n x^n + \dots$ ($a_n \neq 0$)
$Q(x) = b_n x^n + \dots$ ($b_n \neq 0$)

Старший член произведения $P(x) \cdot Q(x)$ равен $(a_n x^n) \cdot (b_n x^n) = (a_n b_n) x^{2n}$.

Поскольку по определению многочлена степени $n$ коэффициенты $a_n$ и $b_n$ не равны нулю, их произведение $a_n b_n$ также не равно нулю. Это означает, что степень результирующего многочлена в точности равна $2n$.

Утверждение полностью соответствует этому выводу.
Ответ: утверждение верное.