Номер 1.12, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.12, страница 11.

1.12. а) Докажите, что свободный член многочлена $p(x)$ равен значению этого многочлена в точке $x = 0$.

б) Докажите, что сумма всех коэффициентов стандартного вида многочлена $p(x)$ равна $p(1)$.

а) Пусть дан многочлен $p(x)$ стандартного вида степени $n$: $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, где $a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0$ — его коэффициенты. Свободным членом по определению является коэффициент $a_0$ (коэффициент при $x^0$).
Найдем значение данного многочлена в точке $x = 0$, подставив это значение в его выражение: $p(0) = a_n \cdot (0)^n + a_{n-1} \cdot (0)^{n-1} + \dots + a_1 \cdot (0) + a_0$.
Для любого натурального числа $k$ ($k \ge 1$) имеем $0^k = 0$. Следовательно, все слагаемые, содержащие $x$ в положительной степени, обращаются в ноль: $p(0) = 0 + 0 + \dots + 0 + a_0 = a_0$.
Таким образом, мы показали, что значение многочлена в точке $x=0$ равно его свободному члену $a_0$.
Ответ: Утверждение доказано.

б) Рассмотрим тот же многочлен $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$.
Сумма всех его коэффициентов равна $S = a_n + a_{n-1} + \dots + a_1 + a_0$.
Найдем значение многочлена в точке $x = 1$, подставив это значение в его выражение: $p(1) = a_n \cdot (1)^n + a_{n-1} \cdot (1)^{n-1} + \dots + a_1 \cdot (1) + a_0$.
Поскольку $1$ в любой степени равно $1$ (то есть $1^k=1$ для любого $k$), то выражение упрощается: $p(1) = a_n \cdot 1 + a_{n-1} \cdot 1 + \dots + a_1 \cdot 1 + a_0 = a_n + a_{n-1} + \dots + a_1 + a_0$.
Полученное выражение для $p(1)$ в точности совпадает с суммой всех коэффициентов многочлена.
Ответ: Утверждение доказано.