Номер 1.19, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.19, страница 13.

1.19. Найдите все значения параметра a, при которых многочлен $(a^2 - 1)x^4 - 2x^3 + (2a - 1)x - 7$ будет:

а) тождественно равен многочлену $8x^4 - 2x^3 - (a - 8)x - 4 - a$;

б) тождественно равен многочлену $-2x^3 - (2 - 3a)x - a^2 - 6$.

а)

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Приравняем коэффициенты многочлена $(a^2 - 1)x^4 - 2x^3 + (2a - 1)x - 7$ и многочлена $8x^4 - 2x^3 - (a - 8)x - 4 - a$.

Для того чтобы многочлены были тождественно равны, необходимо, чтобы коэффициенты при соответствующих степенях $x$ были равны. Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} a^2 - 1 = 8 & \text{(коэффициенты при } x^4 \text{)} \\ -2 = -2 & \text{(коэффициенты при } x^3 \text{)} \\ 0 = 0 & \text{(коэффициенты при } x^2 \text{, в обоих многочленах отсутствуют)} \\ 2a - 1 = -(a - 8) & \text{(коэффициенты при } x \text{)} \\ -7 = -4 - a & \text{(свободные члены)} \end{cases} $

Решим данную систему. Второе и третье уравнения являются тождествами и не дают ограничений на параметр $a$. Рассмотрим остальные уравнения.

Из первого уравнения $a^2 - 1 = 8$ получаем $a^2 = 9$, что дает два возможных значения: $a = 3$ или $a = -3$.

Из четвертого уравнения $2a - 1 = -(a - 8)$ следует $2a - 1 = -a + 8$. Перенося члены, получаем $3a = 9$, откуда $a = 3$.

Из пятого уравнения $-7 = -4 - a$ следует $a = -4 + 7$, что дает $a = 3$.

Чтобы система уравнений имела решение, необходимо найти значение $a$, которое удовлетворяет всем уравнениям одновременно. Единственное значение, которое является решением всех трех уравнений, — это $a = 3$.

Ответ: $a = 3$.

б)

Приравняем коэффициенты многочлена $(a^2 - 1)x^4 - 2x^3 + (2a - 1)x - 7$ и многочлена $-2x^3 - (2 - 3a)x - a^2 - 6$.

Составим систему уравнений, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$:

$ \begin{cases} a^2 - 1 = 0 & \text{(коэффициенты при } x^4 \text{)} \\ -2 = -2 & \text{(коэффициенты при } x^3 \text{)} \\ 0 = 0 & \text{(коэффициенты при } x^2 \text{)} \\ 2a - 1 = -(2 - 3a) & \text{(коэффициенты при } x \text{)} \\ -7 = -a^2 - 6 & \text{(свободные члены)} \end{cases} $

Решим полученную систему. Второе и третье уравнения являются тождествами.

Из первого уравнения $a^2 - 1 = 0$ получаем $a^2 = 1$, откуда $a = 1$ или $a = -1$.

Из четвертого уравнения $2a - 1 = -(2 - 3a)$ следует $2a - 1 = -2 + 3a$. Перенося члены, получаем $-a = -1$, откуда $a = 1$.

Из пятого уравнения $-7 = -a^2 - 6$ следует $a^2 = -6 + 7$, то есть $a^2 = 1$, что дает $a = 1$ или $a = -1$.

Чтобы найти искомое значение параметра, нужно найти общее решение для всех уравнений системы. Сравнивая полученные результаты, видим, что единственным значением, удовлетворяющим всем условиям, является $a = 1$.

Ответ: $a = 1$.