Номер 1.24, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.24, страница 13.

1.24. a) Выпишите все приведённые многочлены, являющиеся делителями многочлена $3(x - 1)^2(x + 5)$.

б) Выпишите все приведённые многочлены третьей степени, являющиеся делителями многочлена $x^2(2x + 3)(x + 5)^3$.

а) Выпишите все приведённые многочлены, являющиеся делителями многочлена $3(x-1)^2(x+5)$.

Исходный многочлен: $P(x) = 3(x-1)^2(x+5)$. Приведённый многочлен — это многочлен, старший коэффициент которого равен 1. Делителями многочлена $P(x)$ являются многочлены вида $D(x) = c \cdot (x-1)^i \cdot (x+5)^j$, где $c$ — делитель числа 3, $i$ — целое число в пределах $0 \le i \le 2$, а $j$ — целое число в пределах $0 \le j \le 1$.

Многочлены $(x-1)$ и $(x+5)$ являются приведёнными, поэтому их произведение $(x-1)^i (x+5)^j$ также является приведённым многочленом (его старший коэффициент равен 1). Чтобы делитель $D(x) = c \cdot (x-1)^i \cdot (x+5)^j$ был приведённым, его старший коэффициент $c$ должен быть равен 1.

Следовательно, все приведённые многочлены-делители имеют вид $(x-1)^i(x+5)^j$. Перечислим все возможные комбинации, изменяя $i$ от 0 до 2 и $j$ от 0 до 1:
1. При $i=0, j=0 \implies (x-1)^0(x+5)^0 = 1$
2. При $i=1, j=0 \implies (x-1)^1(x+5)^0 = x-1$
3. При $i=2, j=0 \implies (x-1)^2(x+5)^0 = (x-1)^2$
4. При $i=0, j=1 \implies (x-1)^0(x+5)^1 = x+5$
5. При $i=1, j=1 \implies (x-1)^1(x+5)^1 = (x-1)(x+5)$
6. При $i=2, j=1 \implies (x-1)^2(x+5)^1 = (x-1)^2(x+5)$

Ответ: $1$, $x-1$, $x+5$, $(x-1)^2$, $(x-1)(x+5)$, $(x-1)^2(x+5)$.

б) Выпишите все приведённые многочлены третьей степени, являющиеся делителями многочлена $x^2(2x+3)(x+5)^3$.

Исходный многочлен: $P(x) = x^2(2x+3)(x+5)^3$. Мы ищем все приведённые многочлены третьей степени, которые являются его делителями. Для удобства представим многочлен $P(x)$ в виде произведения константы и приведённых сомножителей. Для этого вынесем коэффициент 2 из скобки $(2x+3)$: $P(x) = x^2 \cdot 2(x + \frac{3}{2}) \cdot (x+5)^3 = 2 \cdot x^2 \cdot (x + \frac{3}{2})^1 \cdot (x+5)^3$.

Любой приведённый делитель $D(x)$ должен иметь вид $D(x) = x^i(x+\frac{3}{2})^j(x+5)^k$. Степени $i, j, k$ ограничены кратностями соответствующих множителей в $P(x)$: $0 \le i \le 2$, $0 \le j \le 1$, $0 \le k \le 3$. Степень многочлена $D(x)$ равна $i+j+k$, и по условию она должна быть равна 3.

Рассмотрим все целочисленные решения уравнения $i+j+k=3$ с учётом указанных ограничений:
Случай 1: $j=0$. Уравнение принимает вид $i+k=3$. Возможные пары $(i, k)$ в рамках ограничений $0 \le i \le 2$ и $0 \le k \le 3$:
• $i=0, k=3 \implies D(x) = x^0(x+\frac{3}{2})^0(x+5)^3 = (x+5)^3$.
• $i=1, k=2 \implies D(x) = x^1(x+\frac{3}{2})^0(x+5)^2 = x(x+5)^2$.
• $i=2, k=1 \implies D(x) = x^2(x+\frac{3}{2})^0(x+5)^1 = x^2(x+5)$.

Случай 2: $j=1$. Уравнение принимает вид $i+k=2$. Возможные пары $(i, k)$ в рамках ограничений $0 \le i \le 2$ и $0 \le k \le 3$:
• $i=0, k=2 \implies D(x) = x^0(x+\frac{3}{2})^1(x+5)^2 = (x+\frac{3}{2})(x+5)^2$.
• $i=1, k=1 \implies D(x) = x^1(x+\frac{3}{2})^1(x+5)^1 = x(x+\frac{3}{2})(x+5)$.
• $i=2, k=0 \implies D(x) = x^2(x+\frac{3}{2})^1(x+5)^0 = x^2(x+\frac{3}{2})$.

Ответ: $(x+5)^3$, $x(x+5)^2$, $x^2(x+5)$, $(x+\frac{3}{2})(x+5)^2$, $x(x+\frac{3}{2})(x+5)$, $x^2(x+\frac{3}{2})$.