Номер 1.31, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.31, страница 15.

1.31. Используя схему Горнера, найдите все такие значения параметра $a$, при которых для многочлена $p(x) = x^7 - 2x^6 + 3x^5 - x^3 + x^2 - 5x + a$ выполняется условие:

а) $p(1) = 0$;

б) $p(-1) = 0$;

в) $p(2) = 0$;

г) $p(-3) = 5$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Безу, согласно которой остаток от деления многочлена $p(x)$ на двучлен $(x-c)$ равен значению многочлена в точке $c$, то есть $p(c)$. Для нахождения этого остатка применим схему Горнера.

Многочлен имеет вид: $p(x) = x^7 - 2x^6 + 3x^5 + 0x^4 - x^3 + x^2 - 5x + a$.

Его коэффициенты при степенях от $x^7$ до $x^0$: $1, -2, 3, 0, -1, 1, -5, a$.

а) p(1) = 0

Применим схему Горнера для $c=1$.

Выполним вычисления:
$b_6 = 1$
$b_5 = 1 \cdot 1 + (-2) = -1$
$b_4 = 1 \cdot (-1) + 3 = 2$
$b_3 = 1 \cdot 2 + 0 = 2$
$b_2 = 1 \cdot 2 + (-1) = 1$
$b_1 = 1 \cdot 1 + 1 = 2$
$b_0 = 1 \cdot 2 + (-5) = -3$
Остаток $R = p(1) = 1 \cdot (-3) + a = a - 3$.

По условию $p(1) = 0$, следовательно, $a - 3 = 0$.

Отсюда находим $a = 3$.

Ответ: $a = 3$.

б) p(-1) = 0

Применим схему Горнера для $c=-1$.

Выполним вычисления:
$b_6 = 1$
$b_5 = (-1) \cdot 1 + (-2) = -3$
$b_4 = (-1) \cdot (-3) + 3 = 6$
$b_3 = (-1) \cdot 6 + 0 = -6$
$b_2 = (-1) \cdot (-6) + (-1) = 5$
$b_1 = (-1) \cdot 5 + 1 = -4$
$b_0 = (-1) \cdot (-4) + (-5) = -1$
Остаток $R = p(-1) = (-1) \cdot (-1) + a = a + 1$.

По условию $p(-1) = 0$, следовательно, $a + 1 = 0$.

Отсюда находим $a = -1$.

Ответ: $a = -1$.

в) p(2) = 0

Применим схему Горнера для $c=2$.

Выполним вычисления:
$b_6 = 1$
$b_5 = 2 \cdot 1 + (-2) = 0$
$b_4 = 2 \cdot 0 + 3 = 3$
$b_3 = 2 \cdot 3 + 0 = 6$
$b_2 = 2 \cdot 6 + (-1) = 11$
$b_1 = 2 \cdot 11 + 1 = 23$
$b_0 = 2 \cdot 23 + (-5) = 41$
Остаток $R = p(2) = 2 \cdot 41 + a = a + 82$.

По условию $p(2) = 0$, следовательно, $a + 82 = 0$.

Отсюда находим $a = -82$.

Ответ: $a = -82$.

г) p(-3) = 5

Применим схему Горнера для $c=-3$.

Выполним вычисления:
$b_6 = 1$
$b_5 = (-3) \cdot 1 + (-2) = -5$
$b_4 = (-3) \cdot (-5) + 3 = 18$
$b_3 = (-3) \cdot 18 + 0 = -54$
$b_2 = (-3) \cdot (-54) + (-1) = 161$
$b_1 = (-3) \cdot 161 + 1 = -482$
$b_0 = (-3) \cdot (-482) + (-5) = 1446 - 5 = 1441$
Остаток $R = p(-3) = (-3) \cdot 1441 + a = a - 4323$.

По условию $p(-3) = 5$, следовательно, $a - 4323 = 5$.

Отсюда находим $a = 4323 + 5 = 4328$.

Ответ: $a = 4328$.