Номер 1.37, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.37, страница 16.

1.37. Найдите действительные корни многочлена:

a) $3x^4 - 5x^2 + 2;$

б) $x^5 + 3x^4 - 3x^3 - x^2 - 3x + 3.$

а) Чтобы найти действительные корни многочлена $3x^4 - 5x^2 + 2$, приравняем его к нулю и решим полученное уравнение:$$3x^4 - 5x^2 + 2 = 0$$Данное уравнение является биквадратным. Введем замену переменной: пусть $y = x^2$. Поскольку ищутся действительные значения $x$, то $y$ должно быть неотрицательным, то есть $y \ge 0$.После замены получаем квадратное уравнение относительно $y$:$$3y^2 - 5y + 2 = 0$$Найдем его корни, используя формулу для корней квадратного уравнения. Сначала вычислим дискриминант:$$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$$Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два различных действительных корня:$$y_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$$$y_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$$Оба найденных значения для $y$ удовлетворяют условию $y \ge 0$. Теперь выполним обратную замену для каждого из корней.
1. При $y = \frac{2}{3}$ получаем уравнение $x^2 = \frac{2}{3}$. Его корни:$$x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$$2. При $y = 1$ получаем уравнение $x^2 = 1$. Его корни:$$x = \pm\sqrt{1} = \pm 1$$Таким образом, многочлен имеет четыре действительных корня.
Ответ: $\pm 1; \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$.

б) Чтобы найти действительные корни многочлена $x^5 + 3x^4 - 3x^3 - x^2 - 3x + 3$, решим уравнение:$$x^5 + 3x^4 - 3x^3 - x^2 - 3x + 3 = 0$$Для решения этого уравнения применим метод группировки слагаемых:$$(x^5 - x^2) + (3x^4 - 3x) - (3x^3 - 3) = 0$$Вынесем общие множители из каждой скобки:$$x^2(x^3 - 1) + 3x(x^3 - 1) - 3(x^3 - 1) = 0$$Теперь общий множитель $(x^3 - 1)$ можно вынести за скобку:$$(x^3 - 1)(x^2 + 3x - 3) = 0$$Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:
1. $x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = 1$. Это уравнение имеет один действительный корень $x_1 = 1$.
2. $x^2 + 3x - 3 = 0$. Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:$$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 9 + 12 = 21$$Дискриминант положителен, следовательно, уравнение имеет два действительных корня:$$x_{2,3} = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{2}$$Таким образом, многочлен имеет три действительных корня.
Ответ: $1; \frac{-3 + \sqrt{21}}{2}; \frac{-3 - \sqrt{21}}{2}$.