Номер 1.39, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.39, страница 16.

1.39. В данное предложение вместо многоточия вставьте один из пропущенных оборотов: «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно»; докажите полученное утверждение:

а) для того чтобы многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами делился без остатка на двучлен $x - x_0$, $x_0 \in \mathbb{Z}$, $x_0 \ne 0$, ..., чтобы его свободный член делился без остатка на $x_0$;

б) для того чтобы свободный член многочлена $f(x)$ с целыми коэффициентами делился без остатка на целое число $x_0 \ne 0$, ..., чтобы $x_0$ был корнем многочлена $f(x)$.

а) В данное предложение следует вставить слово «необходимо».

Полученное утверждение: для того чтобы многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами делился без остатка на двучлен $x - x_0$, $x_0 \in \mathbb{Z}, x_0 \ne 0$, необходимо, чтобы его свободный член делился без остатка на $x_0$.

Доказательство.

Пусть многочлен $f(x)$ имеет вид $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, где коэффициенты $a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0$ — целые числа.

1. Докажем необходимость.

Пусть многочлен $f(x)$ делится без остатка на двучлен $x - x_0$. Согласно следствию из теоремы Безу (теореме о корне), это равносильно тому, что $x_0$ является корнем многочлена $f(x)$, то есть $f(x_0) = 0$.

Подставим $x_0$ в многочлен:

$f(x_0) = a_n x_0^n + a_{n-1} x_0^{n-1} + \dots + a_1 x_0 + a_0 = 0$

Выразим свободный член $a_0$:

$a_0 = - (a_n x_0^n + a_{n-1} x_0^{n-1} + \dots + a_1 x_0)$

Вынесем $x_0$ за скобки в правой части равенства:

$a_0 = -x_0 (a_n x_0^{n-1} + a_{n-1} x_0^{n-2} + \dots + a_1)$

Поскольку все коэффициенты $a_i$ и число $x_0$ являются целыми, то выражение в скобках также является целым числом. Обозначим его как $k = -(a_n x_0^{n-1} + \dots + a_1) \in \mathbb{Z}$.

Тогда $a_0 = k \cdot x_0$, что по определению означает, что свободный член $a_0$ делится без остатка на $x_0$. Необходимость доказана.

2. Покажем, что условие не является достаточным.

Для этого приведем контрпример. Рассмотрим многочлен $f(x) = x^2 + 2x + 4$ и число $x_0 = 2$. Коэффициенты многочлена (1, 2, 4) — целые. Свободный член $a_0 = 4$ делится на $x_0 = 2$.

Однако, проверим, делится ли $f(x)$ на $x-2$. Для этого вычислим $f(2)$:

$f(2) = 2^2 + 2 \cdot 2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12$

Так как $f(2) \ne 0$, многочлен $f(x)$ не делится без остатка на $x-2$. Следовательно, данное условие не является достаточным.

Ответ: необходимо.

б) В данное предложение следует вставить слово «достаточно».

Полученное утверждение: для того чтобы свободный член многочлена $f(x)$ с целыми коэффициентами делился без остатка на целое число $x_0 \ne 0$, достаточно, чтобы $x_0$ был корнем многочлена $f(x)$.

Доказательство.

Пусть многочлен $f(x)$ имеет вид $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, где коэффициенты $a_i$ — целые числа.

1. Докажем достаточность.

Пусть $x_0$ является корнем многочлена $f(x)$. Это означает, что $f(x_0) = 0$.

Подставим $x_0$ в многочлен:

$f(x_0) = a_n x_0^n + a_{n-1} x_0^{n-1} + \dots + a_1 x_0 + a_0 = 0$

Выразим свободный член $a_0$:

$a_0 = - (a_n x_0^n + a_{n-1} x_0^{n-1} + \dots + a_1 x_0)$

Вынесем $x_0$ за скобки:

$a_0 = -x_0 (a_n x_0^{n-1} + a_{n-1} x_0^{n-2} + \dots + a_1)$

Так как $a_i \in \mathbb{Z}$ и $x_0 \in \mathbb{Z}$, выражение в скобках является целым числом. Это означает, что $a_0$ представимо в виде произведения $x_0$ на некоторое целое число, то есть $a_0$ делится без остатка на $x_0$. Достаточность доказана.

2. Покажем, что условие не является необходимым.

Для этого приведем контрпример. Рассмотрим многочлен $f(x) = x + 3$ и число $x_0 = 3$. Коэффициенты (1, 3) — целые. Свободный член $a_0 = 3$ делится на $x_0 = 3$.

Однако, проверим, является ли $x_0=3$ корнем многочлена $f(x)$.

$f(3) = 3 + 3 = 6$

Так как $f(3) \ne 0$, число $x_0=3$ не является корнем многочлена $f(x)$. Таким образом, для того, чтобы свободный член делился на $x_0$, не обязательно, чтобы $x_0$ был корнем. Следовательно, условие не является необходимым.

Ответ: достаточно.