Номер 1.40, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.40, страница 16.

1.40. Найдите целые корни многочлена; в ответе укажите множество целых корней многочлена и кратность всех его целых корней, если эти кратности больше 1:

а) $x^3 - 4x^2 + x + 6;$

б) $x^4 + 5x^2 - 6;$

в) $x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 5x + 2;$

г) $x^6 + x^5 - 10x^4 - 12x^3 + 19x^2 + 35x + 14.$

а)

Рассмотрим многочлен $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$. Согласно теореме о рациональных корнях, любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами должен быть делителем его свободного члена. Свободный член равен 6. Делители числа 6: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Проверим эти значения, подставляя их в многочлен:

• $P(1) = 1^3 - 4(1)^2 + 1 + 6 = 1 - 4 + 1 + 6 = 4 \neq 0$
• $P(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$. Значит, $x = -1$ является корнем.
• $P(2) = 2^3 - 4(2)^2 + 2 + 6 = 8 - 16 + 2 + 6 = 0$. Значит, $x = 2$ является корнем.
• $P(3) = 3^3 - 4(3)^2 + 3 + 6 = 27 - 36 + 3 + 6 = 0$. Значит, $x = 3$ является корнем.

Мы нашли три различных целых корня для многочлена третьей степени. Следовательно, это все его корни. Кратность каждого корня равна 1.

Ответ: Множество целых корней: $\{-1, 2, 3\}$.

б)

Рассмотрим многочлен $P(x) = x^4 + 5x^2 - 6$. Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $y \ge 0$. Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$: $y^2 + 5y - 6 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения, например, по теореме Виета: $y_1 + y_2 = -5$ и $y_1 \cdot y_2 = -6$. Отсюда $y_1 = 1$ и $y_2 = -6$.

Корень $y_2 = -6$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому его отбрасываем. Возвращаемся к исходной переменной $x$ для корня $y_1 = 1$: $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.

Оба корня, $1$ и $-1$, являются целыми. Кратность каждого корня равна 1.

Ответ: Множество целых корней: $\{-1, 1\}$.

в)

Рассмотрим многочлен $P(x) = x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 5x + 2$. Целые корни многочлена должны быть делителями свободного члена, равного 2. Делители числа 2: $\pm 1, \pm 2$.

Проверим эти значения:

• $P(1) = 1 - 2 - 6 + 5 + 2 = 0$. Значит, $x = 1$ является корнем.
• $P(-1) = 1 + 2 - 6 - 5 + 2 = -6 \neq 0$.
• $P(2) = 16 - 16 - 24 + 10 + 2 = -8 \neq 0$.
• $P(-2) = 16 - 2(-8) - 6(4) + 5(-2) + 2 = 16 + 16 - 24 - 10 + 2 = 0$. Значит, $x = -2$ является корнем.

Мы нашли два целых корня: $1$ и $-2$. Чтобы найти остальные корни, разделим многочлен $P(x)$ на $(x-1)$ и $(x+2)$. Это эквивалентно делению на $(x-1)(x+2) = x^2+x-2$. Выполнив деление столбиком, получим: $(x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 5x + 2) \div (x^2 + x - 2) = x^2 - 3x - 1$. Таким образом, $P(x) = (x - 1)(x + 2)(x^2 - 3x - 1)$.

Оставшиеся корни являются корнями квадратного уравнения $x^2 - 3x - 1 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4(1)(-1) = 9 + 4 = 13$. Корни $x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$ не являются целыми. Следовательно, целыми корнями исходного многочлена являются только $1$ и $-2$. Кратность каждого из них равна 1.

Ответ: Множество целых корней: $\{-2, 1\}$.

г)

Рассмотрим многочлен $P(x) = x^6 + x^5 - 10x^4 - 12x^3 + 19x^2 + 35x + 14$. Целые корни должны быть делителями свободного члена 14. Делители: $\pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14$.

Проверим некоторые из них:

• $P(-1) = 1 - 1 - 10 + 12 + 19 - 35 + 14 = 0$. Значит, $x = -1$ является корнем.
• $P(2) = 64 + 32 - 160 - 96 + 76 + 70 + 14 = 0$. Значит, $x = 2$ является корнем.

Проверим кратность корня $x = -1$. Для этого будем последовательно делить многочлен на $(x+1)$. После первого деления получим: $P(x) = (x+1)(x^5 - 10x^3 - 2x^2 + 21x + 14)$. Проверим, является ли $x=-1$ корнем частного $Q_1(x) = x^5 - 10x^3 - 2x^2 + 21x + 14$: $Q_1(-1) = -1 -10(-1) -2(1) + 21(-1) + 14 = -1 + 10 - 2 - 21 + 14 = 0$. Так как $Q_1(-1)=0$, кратность корня $x=-1$ как минимум 2. Делим $Q_1(x)$ на $(x+1)$: $Q_1(x) = (x+1)(x^4 - x^3 - 9x^2 + 7x + 14)$. Проверим, является ли $x=-1$ корнем частного $Q_2(x) = x^4 - x^3 - 9x^2 + 7x + 14$: $Q_2(-1) = 1 - (-1) - 9(1) + 7(-1) + 14 = 1+1-9-7+14 = 0$. Так как $Q_2(-1)=0$, кратность корня $x=-1$ как минимум 3. Делим $Q_2(x)$ на $(x+1)$: $Q_2(x) = (x+1)(x^3 - 2x^2 - 7x + 14)$. Проверим, является ли $x=-1$ корнем частного $Q_3(x) = x^3 - 2x^2 - 7x + 14$: $Q_3(-1) = -1 - 2(1) - 7(-1) + 14 = -1 - 2 + 7 + 14 = 18 \neq 0$. Следовательно, кратность корня $x = -1$ равна 3.

Итак, $P(x) = (x+1)^3(x^3 - 2x^2 - 7x + 14)$. Теперь найдем корни многочлена $Q_3(x) = x^3 - 2x^2 - 7x + 14$. Мы уже знаем, что $x=2$ является корнем $P(x)$, проверим его для $Q_3(x)$: $Q_3(2) = 2^3 - 2(2^2) - 7(2) + 14 = 8 - 8 - 14 + 14 = 0$. Значит, $x=2$ — корень $Q_3(x)$. Разделим $Q_3(x)$ на $(x-2)$: $x^3 - 2x^2 - 7x + 14 = x^2(x-2) - 7(x-2) = (x-2)(x^2-7)$.

Окончательное разложение многочлена на множители: $P(x) = (x+1)^3(x-2)(x^2-7)$. Корни множителя $x^2-7$, равные $\pm\sqrt{7}$, не являются целыми. Таким образом, целыми корнями являются $x=-1$ и $x=2$. Кратность корня $x=2$ равна 1.

Ответ: Множество целых корней: $\{-1, 2\}$. Корень $x=-1$ имеет кратность 3.