Номер 1.45, страница 17, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.45, страница 17.

1.45. Пусть $p(x)$ — многочлен третьей степени; $p(1) = p(2) = p(3) = 0$. Докажите, что:

а) $p(4) \neq 0;$

б) $p(7) \neq p(-3);$

в) $p(1,5) + p(2,5) = 0;$

г) $p(5) = 4p(4).$

Поскольку $p(x)$ — многочлен третьей степени и из условия известно, что $p(1) = p(2) = p(3) = 0$, то числа 1, 2 и 3 являются корнями этого многочлена. Согласно теореме Безу, если число $c$ является корнем многочлена, то многочлен делится на $(x-c)$ без остатка. Таким образом, многочлен $p(x)$ можно представить в следующем виде:

$p(x) = a(x-1)(x-2)(x-3)$

где $a$ — некоторый числовой коэффициент. Так как по условию $p(x)$ является многочленом именно третьей степени, его старший коэффициент при $x^3$ должен быть отличен от нуля. В данном виде старший коэффициент равен $a$, следовательно, $a \neq 0$.

Используя эту формулу, докажем все утверждения.

a) $p(4) \neq 0$;

Подставим $x=4$ в формулу для многочлена $p(x)$:

$p(4) = a(4-1)(4-2)(4-3) = a \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6a$

Поскольку $a \neq 0$, то и произведение $6a$ не равно нулю. Следовательно, $p(4) \neq 0$.

Ответ: Утверждение доказано.

б) $p(7) \neq p(-3)$;

Вычислим значения многочлена в точках $x=7$ и $x=-3$.

Для $x=7$:

$p(7) = a(7-1)(7-2)(7-3) = a \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120a$

Для $x=-3$:

$p(-3) = a(-3-1)(-3-2)(-3-3) = a \cdot (-4) \cdot (-5) \cdot (-6) = -120a$

Теперь предположим, что $p(7) = p(-3)$. Тогда:

$120a = -120a$

$240a = 0$

Это равенство выполняется только при $a=0$. Но это противоречит условию, что $p(x)$ — многочлен третьей степени ($a \neq 0$). Значит, наше предположение неверно, и $p(7) \neq p(-3)$.

Ответ: Утверждение доказано.

в) $p(1,5) + p(2,5) = 0$;

Вычислим значения многочлена в точках $x=1,5$ и $x=2,5$.

Для $x=1,5$:

$p(1,5) = a(1,5-1)(1,5-2)(1,5-3) = a \cdot (0,5) \cdot (-0,5) \cdot (-1,5) = a \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{3}{2}) = \frac{3}{8}a$

Для $x=2,5$:

$p(2,5) = a(2,5-1)(2,5-2)(2,5-3) = a \cdot (1,5) \cdot (0,5) \cdot (-0,5) = a \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{8}a$

Теперь сложим полученные значения:

$p(1,5) + p(2,5) = \frac{3}{8}a + (-\frac{3}{8}a) = \frac{3}{8}a - \frac{3}{8}a = 0$

Равенство выполняется для любого значения $a$, что и требовалось доказать.

Отметим также, что корни многочлена 1, 2, 3 симметричны относительно точки $x=2$. Это означает, что график функции $y=p(x)$ имеет центр симметрии в точке $(2, 0)$. Точки $x=1,5=2-0,5$ и $x=2,5=2+0,5$ также симметричны относительно центра $x=2$. Для функции с таким свойством симметрии выполняется равенство $p(2-\delta) = -p(2+\delta)$. В нашем случае $p(1,5) = -p(2,5)$, откуда и следует, что их сумма равна нулю.

Ответ: Утверждение доказано.

г) $p(5) = 4p(4)$.

Вычислим значения многочлена в точках $x=5$ и $x=4$.

Значение $p(4)$ мы уже нашли в пункте а):

$p(4) = 6a$

Теперь вычислим $p(5)$:

$p(5) = a(5-1)(5-2)(5-3) = a \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24a$

Проверим, выполняется ли равенство $p(5) = 4p(4)$:

$24a = 4 \cdot (6a)$

$24a = 24a$

Равенство верно при любом значении $a$, а значит, оно доказано.

Ответ: Утверждение доказано.