Номер 1.48, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.48, страница 18.

1.48. При каких целых значениях $a$, $b$ и $c$ многочлен $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 2$ имеет целый корень кратности 3? Для каждой тройки таких значений $a$, $b$ и $c$ найдите корни многочлена $f(x)$.

Пусть многочлен $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 2$ имеет целый корень $k$ кратности 3. Это означает, что многочлен можно представить в виде $f(x) = (x-k)^3(x-x_4)$, где $x_4$ — четвертый корень. По условию, коэффициенты $a, b, c$ и корень $k$ являются целыми числами.

Воспользуемся формулами Виета. Если корни многочлена равны $k, k, k, x_4$, то:

• Сумма корней: $3k + x_4 = -a$
• Сумма попарных произведений корней: $3k^2 + 3kx_4 = b$
• Сумма произведений корней по три: $k^3 + 3k^2x_4 = -c$
• Произведение корней: $k^3 x_4 = 2$

Из последнего уравнения $k^3 x_4 = 2$, поскольку $k$ — целое число, $k^3$ также является целым числом и должно быть делителем числа 2. Из первого уравнения $x_4 = -a - 3k$. Так как $a$ и $k$ — целые числа по условию, то $x_4$ также должен быть целым числом. Следовательно, $k^3$ должен быть таким целым делителем числа 2, чтобы $k$ оставалось целым. Возможные целые значения для $k^3$:

• $k^3 = 1 \implies k = 1$
• $k^3 = -1 \implies k = -1$

(Значения $k^3 = \pm 2$ не дают целых $k$).

Таким образом, существуют две возможные тройки значений $(a, b, c)$, соответствующие двум возможным значениям $k$. Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $k=1$

Если кратный корень $k=1$, то из уравнения $k^3 x_4 = 2$ находим четвертый корень: $1^3 \cdot x_4 = 2 \implies x_4 = 2$.

Теперь, используя формулы Виета, находим значения коэффициентов $a, b, c$:

• $a = -(3k + x_4) = -(3(1) + 2) = -5$
• $b = 3k^2 + 3kx_4 = 3(1)^2 + 3(1)(2) = 3 + 6 = 9$
• $c = -(k^3 + 3k^2x_4) = -(1^3 + 3(1)^2(2)) = -(1 + 6) = -7$

Первая тройка значений: $(a, b, c) = (-5, 9, -7)$. Корни соответствующего многочлена $f(x) = x^4 - 5x^3 + 9x^2 - 7x + 2$ — это $1$ (кратности 3) и $2$.

Ответ: При $a=-5, b=9, c=-7$ корни многочлена равны $1, 1, 1, 2$.

Случай 2: $k=-1$

Если кратный корень $k=-1$, то из уравнения $k^3 x_4 = 2$ находим четвертый корень: $(-1)^3 \cdot x_4 = 2 \implies -x_4 = 2 \implies x_4 = -2$.

Находим значения коэффициентов $a, b, c$:

• $a = -(3k + x_4) = -(3(-1) + (-2)) = -(-3 - 2) = 5$
• $b = 3k^2 + 3kx_4 = 3(-1)^2 + 3(-1)(-2) = 3(1) + 6 = 9$
• $c = -(k^3 + 3k^2x_4) = -((-1)^3 + 3(-1)^2(-2)) = -(-1 - 6) = 7$

Вторая тройка значений: $(a, b, c) = (5, 9, 7)$. Корни соответствующего многочлена $f(x) = x^4 + 5x^3 + 9x^2 + 7x + 2$ — это $-1$ (кратности 3) и $-2$.

Ответ: При $a=5, b=9, c=7$ корни многочлена равны $-1, -1, -1, -2$.