Номер 2.5, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Многочлены от нескольких переменных. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 2.5, страница 18.

2.5. a) $(x + y + z)^3 - x^3 - y^3 - z^3;$

б) $(x + y + z)(xy + yz + zx) - xyz;$

в) $x(y + z)^2 + y(z + x)^2 + z(x + y)^2 - 4xyz;$

г) $(x + y + z)^4 - (y + z)^4 - (z + x)^4 - (x + y)^4 + x^4 + y^4 + z^4.$

а)

Раскроем скобки в выражении $(x + y + z)^3 - x^3 - y^3 - z^3$. Воспользуемся формулой куба суммы, представив $x+y+z$ как $((x+y)+z)$:

$( (x+y)+z )^3 = (x+y)^3 + 3(x+y)^2z + 3(x+y)z^2 + z^3$

$= (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) + 3(x^2 + 2xy + y^2)z + 3(x+y)z^2 + z^3$

$= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 + 3x^2z + 6xyz + 3y^2z + 3xz^2 + 3yz^2 + z^3$.

Теперь вычтем из этого выражения $x^3, y^3$ и $z^3$:

$(x^3 + y^3 + z^3 + 3x^2y + 3xy^2 + 3x^2z + 3xz^2 + 3y^2z + 3yz^2 + 6xyz) - x^3 - y^3 - z^3$

$= 3x^2y + 3xy^2 + 3x^2z + 3xz^2 + 3y^2z + 3yz^2 + 6xyz$.

Вынесем общий множитель $3$ за скобки:

$= 3(x^2y + xy^2 + x^2z + xz^2 + y^2z + yz^2 + 2xyz)$.

Сгруппируем слагаемые в скобках по степеням переменной $x$:

$= 3(x^2(y+z) + x(y^2 + 2yz + z^2) + (y^2z + yz^2))$.

Заметим, что $y^2 + 2yz + z^2 = (y+z)^2$ и из последней скобки можно вынести $yz$:

$= 3(x^2(y+z) + x(y+z)^2 + yz(y+z))$.

Теперь вынесем общий множитель $(y+z)$ за скобки:

$= 3(y+z)(x^2 + x(y+z) + yz)$.

Раскроем скобки внутри квадратных скобок:

$= 3(y+z)(x^2 + xy + xz + yz)$.

Сгруппируем слагаемые в последней скобке и вынесем общие множители:

$= 3(y+z)(x(x+y) + z(x+y))$.

Вынесем общий множитель $(x+y)$:

$= 3(x+y)(y+z)(x+z)$.

Ответ: $3(x+y)(y+z)(x+z)$

б)

Раскроем скобки в выражении $(x + y + z)(xy + yz + zx) - xyz$:

$x(xy + yz + zx) + y(xy + yz + zx) + z(xy + yz + zx) - xyz$

$= (x^2y + xyz + x^2z) + (xy^2 + y^2z + xyz) + (xyz + yz^2 + z^2x) - xyz$

$= x^2y + x^2z + xy^2 + y^2z + z^2x + yz^2 + 3xyz - xyz$

$= x^2y + xy^2 + y^2z + yz^2 + z^2x + x^2z + 2xyz$.

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной $x$ (аналогично пункту а):

$= x^2(y+z) + x(y^2+z^2+2yz) + (y^2z+yz^2)$

$= x^2(y+z) + x(y+z)^2 + yz(y+z)$.

Вынесем общий множитель $(y+z)$:

$= (y+z)(x^2 + x(y+z) + yz)$.

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые во второй скобке:

$= (y+z)(x^2 + xy + xz + yz)$

$= (y+z)(x(x+y) + z(x+y))$.

Вынесем общий множитель $(x+y)$:

$= (x+y)(y+z)(z+x)$.

Ответ: $(x+y)(y+z)(z+x)$

в)

Раскроем скобки в выражении $x(y+z)^2 + y(z+x)^2 + z(x+y)^2 - 4xyz$:

$x(y^2 + 2yz + z^2) + y(z^2 + 2zx + x^2) + z(x^2 + 2xy + y^2) - 4xyz$

$= (xy^2 + 2xyz + xz^2) + (yz^2 + 2xyz + yx^2) + (zx^2 + 2xyz + zy^2) - 4xyz$.

Соберем все слагаемые и приведем подобные:

$xy^2 + xz^2 + yz^2 + x^2y + x^2z + y^2z + 6xyz - 4xyz$

$= x^2y + xy^2 + y^2z + yz^2 + z^2x + x^2z + 2xyz$.

Мы получили то же самое выражение, что и в пункте б). Следовательно, результат разложения на множители будет таким же. Повторим шаги факторизации:

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной $x$:

$= x^2(y+z) + x(y^2+2yz+z^2) + (y^2z+yz^2)$

$= x^2(y+z) + x(y+z)^2 + yz(y+z)$.

Вынесем общий множитель $(y+z)$:

$= (y+z)(x^2 + x(y+z) + yz)$.

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые во второй скобке:

$= (y+z)(x^2 + xy + xz + yz)$

$= (y+z)(x(x+y) + z(x+y))$.

Вынесем общий множитель $(x+y)$:

$= (x+y)(y+z)(z+x)$.

Ответ: $(x+y)(y+z)(z+x)$

г)

Обозначим данное выражение как $P(x, y, z)$:

$P(x, y, z) = (x+y+z)^4 - (y+z)^4 - (z+x)^4 - (x+y)^4 + x^4 + y^4 + z^4$.

Это однородный симметрический многочлен четвертой степени. Проверим, обращается ли он в ноль при некоторых значениях переменных.

1. Пусть $x=0$.

$P(0, y, z) = (y+z)^4 - (y+z)^4 - z^4 - y^4 + 0^4 + y^4 + z^4 = 0$.

Так как многочлен обращается в ноль при $x=0$, он делится на $x$. В силу симметрии, он также делится на $y$ и на $z$. Следовательно, $P(x, y, z)$ делится на $xyz$.

2. Пусть $x+y+z=0$. Тогда $y+z = -x$, $z+x = -y$, $x+y = -z$. Подставим эти значения в выражение:

$P(x, y, z) = 0^4 - (-x)^4 - (-y)^4 - (-z)^4 + x^4 + y^4 + z^4$

$= -x^4 - y^4 - z^4 + x^4 + y^4 + z^4 = 0$.

Следовательно, многочлен $P(x, y, z)$ делится на $(x+y+z)$.

Поскольку $x, y, z$ и $(x+y+z)$ являются взаимно простыми многочленами, $P(x, y, z)$ должен делиться на их произведение $xyz(x+y+z)$. Степень многочлена $P(x, y, z)$ равна 4. Степень многочлена $xyz(x+y+z)$ также равна 4. Это означает, что $P(x, y, z)$ пропорционален $xyz(x+y+z)$:

$P(x, y, z) = k \cdot xyz(x+y+z)$, где $k$ - некоторая константа.

Чтобы найти $k$, подставим в равенство какие-нибудь ненулевые значения, например, $x=1, y=1, z=1$.

$P(1, 1, 1) = (1+1+1)^4 - (1+1)^4 - (1+1)^4 - (1+1)^4 + 1^4 + 1^4 + 1^4$

$= 3^4 - 2^4 - 2^4 - 2^4 + 1 + 1 + 1$

$= 81 - 16 - 16 - 16 + 3 = 81 - 48 + 3 = 36$.

С другой стороны, для этих же значений:

$k \cdot (1)(1)(1)(1+1+1) = k \cdot 1 \cdot 3 = 3k$.

Приравниваем полученные результаты:

$3k = 36$, откуда $k=12$.

Таким образом, искомое выражение равно $12xyz(x+y+z)$.

Ответ: $12xyz(x+y+z)$