Номер 2.8, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Многочлены от нескольких переменных. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 2.8, страница 19.

Запишите многочлен в стандартном виде:

2.8. a) $(2x - y - 3)^2 + (x - 3y - 1)^2$;

б) $(x - y - 2z - 1)^2 + (2x + y + z - 3)^2$;

в) $(5x - y - 2)^2 + 2(3x - y - 1)^2$;

г) $(x - 3y + z - 2)^2 - 3(2x + y - z + 1).$

а) $(2x - y - 3)^2 + (x - 3y - 1)^2$

Для решения необходимо раскрыть скобки, используя формулу квадрата трехчлена $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$, а затем привести подобные слагаемые.

Раскроем первую скобку:

$(2x - y - 3)^2 = (2x)^2 + (-y)^2 + (-3)^2 + 2(2x)(-y) + 2(2x)(-3) + 2(-y)(-3) = 4x^2 + y^2 + 9 - 4xy - 12x + 6y$.

Раскроем вторую скобку:

$(x - 3y - 1)^2 = x^2 + (-3y)^2 + (-1)^2 + 2(x)(-3y) + 2(x)(-1) + 2(-3y)(-1) = x^2 + 9y^2 + 1 - 6xy - 2x + 6y$.

Теперь сложим полученные выражения и приведем подобные члены:

$(4x^2 + y^2 + 9 - 4xy - 12x + 6y) + (x^2 + 9y^2 + 1 - 6xy - 2x + 6y) =$

$= (4x^2 + x^2) + (y^2 + 9y^2) + (-4xy - 6xy) + (-12x - 2x) + (6y + 6y) + (9 + 1) =$

$= 5x^2 + 10y^2 - 10xy - 14x + 12y + 10$.

Ответ: $5x^2 + 10y^2 - 10xy - 14x + 12y + 10$.

б) $(x - y - 2z - 1)^2 + (2x + y + z - 3)^2$

Используем формулу квадрата многочлена $(a+b+c+d)^2 = a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd$.

Раскроем первую скобку:

$(x - y - 2z - 1)^2 = x^2 + (-y)^2 + (-2z)^2 + (-1)^2 + 2(x)(-y) + 2(x)(-2z) + 2(x)(-1) + 2(-y)(-2z) + 2(-y)(-1) + 2(-2z)(-1) = x^2 + y^2 + 4z^2 + 1 - 2xy - 4xz - 2x + 4yz + 2y + 4z$.

Раскроем вторую скобку:

$(2x + y + z - 3)^2 = (2x)^2 + y^2 + z^2 + (-3)^2 + 2(2x)(y) + 2(2x)(z) + 2(2x)(-3) + 2(y)(z) + 2(y)(-3) + 2(z)(-3) = 4x^2 + y^2 + z^2 + 9 + 4xy + 4xz - 12x + 2yz - 6y - 6z$.

Сложим полученные многочлены и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + y^2 + 4z^2 + 1 - 2xy - 4xz - 2x + 4yz + 2y + 4z) + (4x^2 + y^2 + z^2 + 9 + 4xy + 4xz - 12x + 2yz - 6y - 6z) =$

$= (x^2+4x^2) + (y^2+y^2) + (4z^2+z^2) + (-2xy+4xy) + (-4xz+4xz) + (4yz+2yz) + (-2x-12x) + (2y-6y) + (4z-6z) + (1+9) =$

$= 5x^2 + 2y^2 + 5z^2 + 2xy + 6yz - 14x - 4y - 2z + 10$.

Ответ: $5x^2 + 2y^2 + 5z^2 + 2xy + 6yz - 14x - 4y - 2z + 10$.

в) $(5x - y - 2)^2 + 2(3x - y - 1)^2$

Раскроем каждую скобку по формуле квадрата трехчлена, второй многочлен умножим на 2 и приведем подобные слагаемые.

$(5x - y - 2)^2 = 25x^2 + y^2 + 4 - 10xy - 20x + 4y$.

$2(3x - y - 1)^2 = 2( (3x)^2 + (-y)^2 + (-1)^2 + 2(3x)(-y) + 2(3x)(-1) + 2(-y)(-1) ) = 2(9x^2 + y^2 + 1 - 6xy - 6x + 2y) = 18x^2 + 2y^2 + 2 - 12xy - 12x + 4y$.

Сложим полученные выражения:

$(25x^2 + y^2 + 4 - 10xy - 20x + 4y) + (18x^2 + 2y^2 + 2 - 12xy - 12x + 4y) =$

$= (25x^2+18x^2) + (y^2+2y^2) + (-10xy-12xy) + (-20x-12x) + (4y+4y) + (4+2) =$

$= 43x^2 + 3y^2 - 22xy - 32x + 8y + 6$.

Ответ: $43x^2 + 3y^2 - 22xy - 32x + 8y + 6$.

г) $(x - 3y + z - 2)^2 - 3(2x + y - z + 1)$

Возведем в квадрат первый многочлен и раскроем скобки во втором выражении, умножив на -3. Затем приведем подобные слагаемые.

Раскроем первую скобку:

$(x - 3y + z - 2)^2 = x^2 + (-3y)^2 + z^2 + (-2)^2 + 2(x)(-3y) + 2(x)(z) + 2(x)(-2) + 2(-3y)(z) + 2(-3y)(-2) + 2(z)(-2) = x^2 + 9y^2 + z^2 + 4 - 6xy + 2xz - 4x - 6yz + 12y - 4z$.

Раскроем вторую скобку:

$-3(2x + y - z + 1) = -6x - 3y + 3z - 3$.

Скомбинируем результаты:

$(x^2 + 9y^2 + z^2 + 4 - 6xy + 2xz - 4x - 6yz + 12y - 4z) - 6x - 3y + 3z - 3 =$

$= x^2 + 9y^2 + z^2 - 6xy + 2xz - 6yz + (-4x-6x) + (12y-3y) + (-4z+3z) + (4-3) =$

$= x^2 + 9y^2 + z^2 - 6xy + 2xz - 6yz - 10x + 9y - z + 1$.

Ответ: $x^2 + 9y^2 + z^2 - 6xy + 2xz - 6yz - 10x + 9y - z + 1$.