Номер 2.14, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Многочлены от нескольких переменных. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 2.14, страница 20.

Решите систему уравнений:

2.14. a) $\begin{cases} x^2 - xy - 2y^2 = 0, \\ x^2 + y^2 = 20; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + 3xy + 9y^2 = 12, \\ x^2 + 3xy + 2y^2 = 0. \end{cases}$

a)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - xy - 2y^2 = 0, \\ x^2 + y^2 = 20. \end{cases}$

Первое уравнение системы $x^2 - xy - 2y^2 = 0$ является однородным уравнением второй степени. Проверим, является ли пара с $y=0$ решением. Если $y=0$, то из первого уравнения следует $x^2 = 0$, то есть $x=0$. Пара $(0, 0)$ не удовлетворяет второму уравнению, так как $0^2 + 0^2 = 0 \neq 20$. Следовательно, $y \neq 0$.

Поскольку $y \neq 0$, мы можем разделить первое уравнение на $y^2$:

$(\frac{x}{y})^2 - (\frac{x}{y}) - 2 = 0$.

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Получим квадратное уравнение:

$t^2 - t - 2 = 0$.

Решая это уравнение, например, с помощью разложения на множители $(t-2)(t+1)=0$, находим корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Возвращаемся к исходным переменным и рассматриваем два случая:

1. $\frac{x}{y} = 2$, откуда $x = 2y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы $x^2 + y^2 = 20$:

$(2y)^2 + y^2 = 20$

$4y^2 + y^2 = 20$

$5y^2 = 20$

$y^2 = 4$, откуда $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Находим соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 \cdot 2 = 4$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = 2 \cdot (-2) = -4$.

Таким образом, мы получили две пары решений: $(4, 2)$ и $(-4, -2)$.

2. $\frac{x}{y} = -1$, откуда $x = -y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы $x^2 + y^2 = 20$:

$(-y)^2 + y^2 = 20$

$y^2 + y^2 = 20$

$2y^2 = 20$

$y^2 = 10$, откуда $y_3 = \sqrt{10}$ и $y_4 = -\sqrt{10}$.

Находим соответствующие значения $x$:

Если $y_3 = \sqrt{10}$, то $x_3 = -\sqrt{10}$.

Если $y_4 = -\sqrt{10}$, то $x_4 = -(-\sqrt{10}) = \sqrt{10}$.

Таким образом, мы получили еще две пары решений: $(-\sqrt{10}, \sqrt{10})$ и $(\sqrt{10}, -\sqrt{10})$.

Ответ: $(4, 2)$, $(-4, -2)$, $(\sqrt{10}, -\sqrt{10})$, $(-\sqrt{10}, \sqrt{10})$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + 3xy + 9y^2 = 12, \\ x^2 + 3xy + 2y^2 = 0. \end{cases}$

Заметим, что левые части уравнений содержат одинаковое выражение $x^2 + 3xy$. Вычтем второе уравнение из первого:

$(x^2 + 3xy + 9y^2) - (x^2 + 3xy + 2y^2) = 12 - 0$

$9y^2 - 2y^2 = 12$

$7y^2 = 12$

$y^2 = \frac{12}{7}$.

Отсюда находим возможные значения для $y$:

$y = \pm\sqrt{\frac{12}{7}} = \pm\frac{\sqrt{4 \cdot 3}}{\sqrt{7}} = \pm\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \pm\frac{2\sqrt{21}}{7}$.

Теперь рассмотрим второе уравнение системы: $x^2 + 3xy + 2y^2 = 0$.

Это однородное уравнение. Разложим его левую часть на множители как квадратный трехчлен относительно $x$ или $y$. Например, как $(x+y)(x+2y)=0$.

Отсюда следует, что либо $x+y=0$, либо $x+2y=0$.

Рассмотрим два случая:

1. $x = -y$.

Используя найденное ранее значение для $y^2$, находим решения:

Если $y = \frac{2\sqrt{21}}{7}$, то $x = -\frac{2\sqrt{21}}{7}$.

Если $y = -\frac{2\sqrt{21}}{7}$, то $x = \frac{2\sqrt{21}}{7}$.

Получили две пары решений: $(-\frac{2\sqrt{21}}{7}, \frac{2\sqrt{21}}{7})$ и $(\frac{2\sqrt{21}}{7}, -\frac{2\sqrt{21}}{7})$.

2. $x = -2y$.

Используя то же значение для $y^2$, находим другие решения:

Если $y = \frac{2\sqrt{21}}{7}$, то $x = -2 \cdot \frac{2\sqrt{21}}{7} = -\frac{4\sqrt{21}}{7}$.

Если $y = -\frac{2\sqrt{21}}{7}$, то $x = -2 \cdot (-\frac{2\sqrt{21}}{7}) = \frac{4\sqrt{21}}{7}$.

Получили еще две пары решений: $(-\frac{4\sqrt{21}}{7}, \frac{2\sqrt{21}}{7})$ и $(\frac{4\sqrt{21}}{7}, -\frac{2\sqrt{21}}{7})$.

Ответ: $(\frac{2\sqrt{21}}{7}, -\frac{2\sqrt{21}}{7})$, $(-\frac{2\sqrt{21}}{7}, \frac{2\sqrt{21}}{7})$, $(\frac{4\sqrt{21}}{7}, -\frac{2\sqrt{21}}{7})$, $(-\frac{4\sqrt{21}}{7}, \frac{2\sqrt{21}}{7})$.